Seja uma distribuição uniforme no intervalo de 0 a . Obtenha o estimador de pelo método dos momentos.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos uma variável aleatória que é uniforme no intervalo . A gente quer achar um estimador de usando o método dos momentos. Vamos precisar saber o que é o método dos momentos (igualar momentos amostrais aos teóricos) e lembrar qual é o valor de pra uma uniforme .
Passo 2
Primeiro, o que é o método dos momentos?
A gente calcula o momento teórico da distribuição (aqui basta o primeiro momento, ).
A gente calcula o momento amostral equivalente (aqui é a média amostral ).
A gente iguala o momento amostral ao teórico e resolve para o parâmetro que queremos ().
Passo 3
Vamos achar o momento teórico (o primeiro) da uniforme .
Por definição,
Fazendo a integral:
Passo 4
Agora o momento amostral de mesma ordem (o primeiro) é simplesmente a média das observações:
bar X = 1nsumi=1^n Xi
Passo 5
Pelo método dos momentos, igualamos
bar X = E[X] = theta2
Basta resolver isso pra theta = 2,bar X :
Resposta
O estimador de boxedhattheta = 2,bar X pelo método dos momentos é