Seja uma distribuição uniforme no intervalo de 0 a theta. Obtenha o estimador de theta pelo método dos momentos.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos uma variável aleatória que é uniforme no intervalo . A gente quer achar um estimador de usando o método dos momentos. Vamos precisar saber o que é o método dos momentos (igualar momentos amostrais aos teóricos) e lembrar qual é o valor de pra uma uniforme .

Passo 2

Primeiro, o que é o método dos momentos?
  1. A gente calcula o momento teórico da distribuição (aqui basta o primeiro momento, ).
  2. A gente calcula o momento amostral equivalente (aqui é a média amostral ).
  3. A gente iguala o momento amostral ao teórico e resolve para o parâmetro que queremos ( ).

Passo 3

Vamos achar o momento teórico (o primeiro) da uniforme E[X] = integral0^theta x ,1theta,dx.
Por definição,
E[X] = 1theta,x^22|0^theta = 1theta,theta^22 = theta2
Fazendo a integral:

Passo 4

Agora o momento amostral de mesma ordem (o primeiro) é simplesmente a média das observações:
bar X = 1nsumi=1^n Xi

Passo 5

Pelo método dos momentos, igualamos
bar X = E[X] = theta2
Basta resolver isso pra theta = 2,bar X :

Resposta

O estimador de boxedhattheta = 2,bar X pelo método dos momentos é

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