Seja Dk=k I a matriz escalar correspondente ao escalar k. Mostre que
Dk+Dk^prime=Dk+k^prime,

Passo 1

O enunciado define a matriz escalar Dk=kI e pede para mostrar que
Dk+Dk'=D,k+k'
O conteúdo que vamos usar é a definição de soma de matrizes (por entradas) e a multiplicação escalar (distributividade do corpo sobre a matriz).

Passo 2

Como a soma de matrizes é feita entrada a entrada, para cada i,j vale
(Dk+Dk')ij=(Dk)ij+(Dk')ij
Mas pelas definições (Dk)ij=k,de<aij e (Dk')ij=k',de<aij, onde de<aij é o delta de Kronecker. Assim
(Dk+Dk')ij=k,de<aij+k',de<aij=(k+k'),de<aij

Passo 3

A matriz cuja (i,j)-ésima entrada é (k+k'),de<aij é exatamente (k+k')I. Logo
Dk+Dk'=(k+k')I=D,k+k'

Resposta

Dk+Dk'=D,k+k'

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