Seja a EDO
.
Determine o valor de
para que a EDO seja exata.
Determine o valor de
Passo 1
Vamos lá! A gente tem a seguinte Equação Diferencial Ordinária (EDO):
. O objetivo é encontrar o valor de
que faz com que essa EDO seja exata. Para isso, vamos precisar entender sobre EDOs exatas e como verificar se uma equação é exata.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da EDO. Uma EDO na forma
é exata se existir uma função
tal que
. Isso significa que as derivadas parciais de
em relação a
e
são
e
, respectivamente.
Passo 3
Para verificar se a EDO é exata, usamos o seguinte critério:
. Vamos calcular essas derivadas.
Primeiro, identifique
e
:
Agora, calcule as derivadas parciais:
Passo 4
Para que a EDO seja exata, as derivadas parciais precisam ser iguais:
Podemos simplificar essa equação:
Dividindo ambos os lados por
(considerando
):
Resposta
O valor de
que torna a EDO exata é
.