Seja a EDO (b x^2 y+x y^2) d x+(x^3+x^2 y) d y=0.
Determine o valor de b para que a EDO seja exata.

Passo 1

Vamos lá! A gente tem a seguinte Equação Diferencial Ordinária (EDO): . O objetivo é encontrar o valor de que faz com que essa EDO seja exata. Para isso, vamos precisar entender sobre EDOs exatas e como verificar se uma equação é exata.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da EDO. Uma EDO na forma é exata se existir uma função tal que . Isso significa que as derivadas parciais de em relação a e são e , respectivamente.

Passo 3

Para verificar se a EDO é exata, usamos o seguinte critério: . Vamos calcular essas derivadas.
Primeiro, identifique e :
Agora, calcule as derivadas parciais:

Passo 4

Para que a EDO seja exata, as derivadas parciais precisam ser iguais:
b x^2 + 2 x y = 3x^2 + 2 x y
Podemos simplificar essa equação:
b x^2 = 3x^2
Dividindo ambos os lados por b = 3 (considerando ):

Resposta

O valor de que torna a EDO exata é .

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