Resolva a EDP abaixo utilizando a técnica de Galerkin.
partial ypartial t=partial^2 ypartial x^2-y
C.C. 1, x=0, y=0
C.C.2, x=1, y=0
C.I, t=0, y=0
Função teste: y(t, x)=a1(t) * sen(pi x).
a) Verifique se as condições de contorno e inicial se adequam a EDP,
b) Gere o resíduo para o problema e gere a EDO após aplicação da Técnica de Galerkin,
c) Resolva a EDO resultante.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que temos.
Enunciado:
Resolver a PDE
partial ypartial t = partial^2 ypartial x^2 - y
com condições de contorno
y(t,0)=0, y(t,1)=0
e condição inicial
y(0,x)=0,
Conteúdo: método de Galerkin (a gente escolhe uma base, monta o resíduo e projeta).
O que vamos precisar:
- Derivar a função teste em relação a e duas vezes.
- Calcular um resíduo e integrá-lo contra a base .
- Resolver a EDO que aparece.

Passo 2

Verificar BC e IC para
y(t,x)=a1(t),sin(pi x),
1) Em y(0,x)=a1(0)sin(pi x)=0forall,xin[0,1]: a1(0)=0, logo .
2) Em : , logo .
3) Na condição inicial :
Como não é zero para todo , precisamos de

Passo 3

Gerar o resíduo e a EDO via Galerkin.
Definimos
R(t,x)=partial ypartial t - partial^2 ypartial x^2 + y
Calculemos as derivadas:
R = a1'(t)sin(pi x) - l(-a1(t)pi^2sin(pi x)r) + a1(t)sin(pi x)
= l[a1'(t) + a1(t)(pi^2+1)r]sin(pi x)
Logo
integral0^1 R,sin(pi x),dx = 0 ;Longrightarrow; l[a1' + (pi^2+1)a1r]integral0^1sin^2(pi x),dx=0
a1'(t)+(pi^2+1),a1(t)=0
Galerkin manda anular a projeção de sobre :
E .
Então obtemos a EDO

Passo 4

Resolver a EDO
a1'+(pi^2+1)a1=0, a1(0)=0
É uma equação linear homogênea de 1ª ordem. A solução geral é
a1(t)=C,e^-(pi^2+1)t
Como a1(t)equiv0, a única solução é

Resposta

Portanto,
boxedy(t,x)=0para todo t>=0,;xin[0,1]

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