Seja A=(lll1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1). Encontre A^n.

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 0 & 0 & 1
e pede A^n. O conteúdo aqui é potência de matriz triangular unipotente, e vamos usar a ideia de escrever A como I+N, onde N é nilpotente.

Passo 2

Definimos
N = A - I ;=; 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0
Como N só tem uns na superdiagonal, calcula-se facilmente
N^2 = 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 , N^3 = 0

Passo 3

Como I e N comutam, vale o teorema binomial para matrizes:
A^n = (I+N)^n = sumk=0^n binomnkN^k
Mas N^k=0 para k>=3, logo
A^n = I + n,N + binomn2N^2

Passo 4

Substituindo N e N^2 temos
n,N = 0 & n & 0 0 & 0 & n 0 & 0 & 0 , binomn2N^2 = n(n-1)2 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 = 0 & 0 & tfracn(n-1)2 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0

Passo 5

Somando I + nN + binomn2N^2 componente a componente, obtemos
A^n = 1 & n & tfracn(n-1)2 0 & 1 & n 0 & 0 & 1

Resposta

A^n = 1 & n & tfracn(n-1)2 0 & 1 & n 0 & 0 & 1

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