Seja
. Encontre
A^n .
Passo 1
O enunciado nos dá a matriz
e pede
A^n . O conteúdo aqui é potência de matriz triangular unipotente, e vamos usar a ideia de escrever
A como
I+N , onde
N é nilpotente.
Passo 2
Definimos
Como
N só tem uns na superdiagonal, calcula-se facilmente
Passo 3
Como
I e
N comutam, vale o teorema binomial para matrizes:
Mas
N^k=0 para
k>=3 , logo
Passo 4
Substituindo
N e
N^2 temos
Passo 5
Somando
I + nN + binomn2N^2 componente a componente, obtemos