Sejam A=(lll1 & & & 2 & & & -3) e B=(lll2 & & & -5 & & & 0). Encontre A B, A^2, B^2, f(A) onde f(x)=x^2+4 x-3, A^-1 e B^-1.

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes diagonais
A = 1&0&00&2&00&0&-3, B = 2&0&00&-5&00&0&0
e pede as operações de produto, potências, avaliação de polinômio em A e inversas. Como são diagonais, todas as operações se reduzem a fazê-las componente a componente.

Passo 2

Para AB, multiplicamos as entradas diagonais correspondentes:
AB = 1cdot2 & 0 & 0 0 & 2cdot(-5) & 0 0 & 0 & (-3)cdot0 = 2&0&00&-10&00&0&0

Passo 3

Para A^2, elevamos cada entrada diagonal ao quadrado:
A^2 = 1^2 & 0 & 0 0 & 2^2 & 0 0 & 0 & (-3)^2 = 1&0&00&4&00&0&9

Passo 4

Para B^2, da mesma forma:
B^2 = 2^2 & 0 & 0 0 & (-5)^2 & 0 0 & 0 & 0^2 = 4&0&00&25&00&0&0

Passo 5

Para f(A) com f(x)=x^2+4x-3, usamos
f(A) = A^2 + 4A - 3I
Como são diagonais:
f(A)= 1+4cdot1-3 & 0 & 0 0 & 4+4cdot2-3 & 0 0 & 0 & 9+4cdot(-3)-3 = 2&0&00&9&00&0&-6

Passo 6

Para A^-1, invertendo cada entrada não nula:
A^-1 = 1^-1 & 0 & 0 0 & 2^-1 & 0 0 & 0 & (-3)^-1 = 1&0&00&tfrac12&00&0&-tfrac13

Passo 7

A matriz B tem uma entrada zero na diagonal, logo det(B)=2cdot(-5)cdot0=0 e B é singular. Portanto, B^-1 não existe.

Resposta

AB = 2&0&00&-10&00&0&0
A^2 = 1&0&00&4&00&0&9
B^2 = 4&0&00&25&00&0&0
f(A) = 2&0&00&9&00&0&-6
A^-1 = 1&0&00&tfrac12&00&0&-tfrac13
B^-1 não existe, pois det(B)=0.

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