Verifique a relação sc(q v barq)=0, onde q=j, v=10-2 i-j+k.

Passo 1

O enunciado pede para verificar que, ao aplicarmos a conjugação por um quaternion unitário q sobre um quaternion puro v, o resultado continua sendo puro, ou seja, sua parte escalar vale zero:
scl(q,v,qr)=0
Aqui q=j (um quaternion unitário puro) e v é o quaternion puro que codifica o vetor (10,-2,-1,1), isto é,
v=10,i ;-;2,j;+;1,k,
cuja parte escalar é zero. Para resolver, vamos usar as regras de multiplicação de quatérnios:
i^2=j^2=k^2=-1, i,j=k,;j,k=i,;k,i=j, j,i=-,k,;k,j=-,i,;i,k=-,j

Passo 2

Calcular o conjugado de q. Como q=j é puro, tem-se
q=j=-,j

Passo 3

Multiplicar q por v:
q,v = j,(10,i - 2,j + k) =10,(j,i);-;2,(j,j);+;(j,k)
Usando j,i=-k, j,j=-1 e j,k=i, obtemos
q,v =10l(-kr);-;2l(-1r);+;i =-10,k ;+;2 ;+;i
Logo,
q,v=2 ;+;i ;-;10,k

Passo 4

Agora multiplicamos esse resultado por q=-j:
(q,v),q =(2 + i - 10,k)(-j) =2,(-j);+;i,(-j);-;10,k,(-j)
Usando i,j=k, k,j=-,i e lembrando o sinal geral, vem
2,(-j)=-2,j, i,(-j)=-,(i,j)=-,k, -10,k,(-j)=10,(k,j)=10,(-i)=-10,i
Somando,
(q,v),q =-10,i ;-;2,j ;-;k

Passo 5

O quaternion final é
q,v,q=-10,i - 2,j - k,
que é puro (não tem parte escalar). Portanto,
scl(q,v,qr)=0

Resposta

scl(j,(10,i - 2,j + k),(-j)r)=0

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