Verifique se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas. Caso seja verdadeira, prove. Caso seja falsa, apresente um contra-exemplo.
Sejam A e B matrizes n times n. Vale que tr(B^T A)=tr(A^T B).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se, dadas matrizes A,BinR^ntimes n, vale
tr(B^TA);=;tr(A^TB)
O conteúdo envolve a definição de traço e manipulação de somatórios de entradas.

Passo 2

Pela definição de traço,
tr(B^TA) =sumi=1^n(B^TA)ii =sumi=1^nsumk=1^n(B^T)ik,Aki
Como (B^T)ik=Bki, segue
tr(B^TA) =sumi=1^nsumk=1^nBki,Aki

Passo 3

De modo completamente análogo,
tr(A^TB) =sumi=1^n(A^TB)ii =sumi=1^nsumk=1^n(A^T)ik,Bki =sumi=1^nsumk=1^nAki,Bki
Em cada termo do somatório trocamos a ordem dos fatores e obtemos exatamente o mesmo duplo somatório que em tr(B^TA).

Resposta

A afirmativa é verdadeira.

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