Seja A=[llll2 & 2 & 2 & 2 2 & 2 & 2 & 2 2 & 2 & 2 & 2 2 & 2 & 2 & 2].
Encontre os autovetores associados a lambda2=0.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A= 2 & 2 & 2 & 2 2 & 2 & 2 & 2 2 & 2 & 2 & 2 2 & 2 & 2 & 2
e pede os autovetores associados ao autovalor lambda2=0.
Conteúdo: autovalores e autovetores. Para lambda=0 basta resolver (A-0,I)x=Ax=0.

Passo 2

Escrevendo Ax para x=(x1,x2,x3,x4)^T, cada componente vale
(Ax)i=2,x1+2,x2+2,x3+2,x4 =2sumj=1^4xj, i=1,dots,4
Então a condição Ax=0 é equivalente a
sumj=1^4xj=0

Passo 3

Portanto o espaço próprio de lambda=0 é
(x1,x2,x3,x4)inR^4mid x1+x2+x3+x4=0
Como há uma única restrição linear, a multiplicidade geométrica é 3.

Passo 4

Para exibir uma base desse espaço, escolhemos três vetores linearmente independentes que satisfaçam a soma nula, por exemplo:
v^(1)=(1,-1,0,0), v^(2)=(1,0,-1,0), v^(3)=(1,0,0,-1)
Qualquer autovetor associado a lambda=0 é combinação linear de v^(1),v^(2),v^(3).

Resposta

O espaço próprio de lambda2=0 é
(x1,x2,x3,x4)inR^4mid x1+x2+x3+x4=0,
e uma base desse espaço é dada por
(1,-1,0,0), (1,0,-1,0) e (1,0,0,-1).

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