e pede uma diagonalização A = P,D,P^-1. O conteúdo da matéria é autovalores e autovetores de matrizes, e vamos precisar encontrar os autovalores de A e um conjunto de autovetores linearmente independentes para montar P.
Passo 2
Para achar os autovalores lambda resolvemos
det(A - lambda I) = 0
Observamos que cada linha de A é igual, então rank(A) = 1 e a soma de cada linha é 2+2+2+2=8. Logo:
lambda1 = 8 (multiplicidade algébrica 1),
lambda2 = 0 (multiplicidade algébrica 3),
pois o traço de A é 8 e os demais autovalores devem ser nulos.
Passo 3
Agora encontramos autovetores.
Para lambda1 = 8, basta ver que
A1111 =8888 =81111
Então um autovetor é v1=(1,1,1,1)^T.
2. Para lambda=0, queremos vetores cuja soma das componentes seja zero, pois
A v = 0 Long<=ftrightarrowsumi vi =0
Três vetores linearmente independentes neste espaço são, por exemplo,
v2 = 1-100, v3 = 01-10, v4 = 001-1
Passo 4
Definimos a matriz de passagem P cujas colunas são os autovetores v1,v2,v3,v4, e D a matriz diagonal com os autovalores na mesma ordem: