Seja A=[llll2 & 2 & 2 & 2 2 & 2 & 2 & 2 2 & 2 & 2 & 2 2 & 2 & 2 & 2].
Encontre matrizes P invertível e D diagonal tal que P^-1 A P=D.

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = 2 & 2 & 2 & 2 2 & 2 & 2 & 2 2 & 2 & 2 & 2 2 & 2 & 2 & 2
e pede uma diagonalização A = P,D,P^-1. O conteúdo da matéria é autovalores e autovetores de matrizes, e vamos precisar encontrar os autovalores de A e um conjunto de autovetores linearmente independentes para montar P.

Passo 2

Para achar os autovalores lambda resolvemos
det(A - lambda I) = 0
Observamos que cada linha de A é igual, então rank(A) = 1 e a soma de cada linha é 2+2+2+2=8. Logo:
  • lambda1 = 8 (multiplicidade algébrica 1),
  • lambda2 = 0 (multiplicidade algébrica 3),
    pois o traço de A é 8 e os demais autovalores devem ser nulos.

Passo 3

Agora encontramos autovetores.
  1. Para lambda1 = 8, basta ver que
A1111 =8888 =81111
Então um autovetor é v1=(1,1,1,1)^T.
2. Para lambda=0, queremos vetores cuja soma das componentes seja zero, pois
A v = 0 Long<=ftrightarrowsumi vi =0
Três vetores linearmente independentes neste espaço são, por exemplo,
v2 = 1-100, v3 = 01-10, v4 = 001-1

Passo 4

Definimos a matriz de passagem P cujas colunas são os autovetores v1,v2,v3,v4, e D a matriz diagonal com os autovalores na mesma ordem:
P = 1 & 1 & 0 & 0 1 & -1 & 1 & 0 1 & 0 & -1 & 1 1 & 0 & 0 & -1 , D = 8 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0
É fácil conferir que P é invertível (det Pneq0) e que
P^-1 A P = D

Resposta

P = 1 & 1 & 0 & 0 1 & -1 & 1 & 0 1 & 0 & -1 & 1 1 & 0 & 0 & -1 , D = 8 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0

Exercícios relacionados