Seja .
Mostre que W é um subespaço vetorial de V=M2(R).
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa mostrar que W é um subespaço vetorial do conjunto V = M2(R) , que é o espaço de todas as matrizes 2 times 2 com entradas reais. Para isso, vamos usar alguns conceitos de álgebra linear, como subespaço vetorial, e verificar se W atende aos critérios necessários para ser um subespaço.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se W não está vazio. O jeito mais fácil de fazer isso é ver se a matriz zero pertence a W . A matriz zero em M2(R) é:
0 & 0 0 & 0
Essa matriz pode ser escrita na forma geral de W substituindo a = 0 e b = 0 :
0 & 0 0 & 0
Então, a matriz zero está em W , o que significa que W não está vazio.
Passo 3
Agora, vamos ver se W é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos duas matrizes quaisquer em W e somarmos elas, o resultado também deve estar em W .
Sejam duas matrizes em W :
A = a1 & b1 - b1 & a1 , B = a2 & b2 - b2 & a2
Vamos somar A e B :
A + B = a1 + a2 & b1 + b2 - b1 - b2 & a1 + a2
Observa que o resultado também tem a forma:
a & b - b & a
onde a = a1 + a2 e b = b1 + b2 , que são números reais. Portanto, A + B está em W , mostrando que W é fechado sob adição.
Passo 4
Por último, vamos verificar se W é fechado sob multiplicação por escalar. Isso significa que se multiplicarmos uma matriz em W por qualquer número real, o resultado também deve estar em W .
Seja uma matriz em W :
A = a & b - b & a
e um escalar c in R . Vamos multiplicar A por c :
cA = c a & c b - c b & c a
Novamente, isso mantém a forma:
a' & b' - b' & a'
onde a' = c a e b' = c b , que são números reais. Assim, cA está em W , mostrando que W é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Como W contém a matriz zero, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar, concluímos que W é um subespaço vetorial de V = M2(R) .