Sejam u=(u1, u2) e v=(v1, v2). Em cada parte, a expressão dada é um produto interno em R^2. Encontre a matriz que gera este produto interno.
(a) lang<=u, vrang<==3 u1 v1+5 u2 v2
(b) (u, v)=4 u1 v1+6 u2 v2

Passo 1

O enunciado pede, para cada produto interno dado em R^2, encontrar a matriz A simétrica tal que, para quaisquer vetores u=(u1,u2) e v=(v1,v2), valha
lang<= u,vrang<= = u^T A ,v
O que precisamos usar é que, de modo geral,
u^T a & b b & dv = a,u1v1 + 2b,u1v2 + d,u2v2

Passo 2

Comparando o termo genérico acima com o produto interno fornecido, vemos que não há termo misto u1v2. Logo b=0 e
lang<= u,vrang<= = a,u1v1 + d,u2v2
Basta então igualar a e d aos coeficientes dos termos u1v1 e u2v2, respectivamente.

Passo 3

(a) No caso lang<=u,vrang<==3,u1v1 + 5,u2v2 temos
a=3, d=5, b=0
Portanto
A = 3 & 0[6pt] 0 & 5 ]

Passo 4

(b) No caso (u,v)=4,u1v1 + 6,u2v2 temos
a=4, d=6, b=0
Logo
A = 4 & 0[6pt] 0 & 6 ]

Resposta

(a) A=3 & 00 & 5
(b) A=4 & 00 & 6

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