Seja B=[cc1raiz2 & -1raiz2 1raiz2 & 1raiz2]. Encontre B^2001. Justifique.

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
B = 1raiz2 & -1raiz2 1raiz2 & 1raiz2
e pede B^2001. O conteúdo aqui é a interpretação de B como matriz de rotação no plano, e o que precisamos usar é que a rotação por ângulo theta compõe somando ângulos.

Passo 2

Identificamos que
B = cospi4 & -sinpi4 sinpi4 & cospi4
é justamente a matriz de rotação de 45^circ (ou tfracpi4 radianos) em torno da origem.

Passo 3

Quando aplicamos duas rotações, os ângulos somam. Logo
B^n
é a rotação de n vezes 45^circ, ou seja, ângulo total ncdot 45^circ.

Passo 4

Uma rotação de 360^circ é a identidade. Como
360^circ = 8times 45^circ,
temos
B^8 = I2

Passo 5

Para calcular B^2001, escrevemos
2001 = 8cdot 250 + 1,
então
B^2001 = l(B^8r)^250,B^1 = I2^250,B = B

Resposta

B^2001 = 1raiz2 & -1raiz2 1raiz2 & 1raiz2

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