Seja f uma função com domínio D. Por sup f designa-se o supremo do conjunto f(D)=f(x): x in D.
Apresente um exemplo no qual a desigualdade em (c) seja estrita (Sugestão: letra (a)) e um outro no qual valha a igualdade (Sugestão: pense no caso mais simples possível).

Passo 1

Vamos lá! A questão fala sobre funções e algo chamado “supremo” de uma função. O supremo de uma função f, escrito como sup f, é o menor número que é maior ou igual a todos os valores que a função pode assumir. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é supremo e como construir funções que atendam às condições pedidas: uma onde uma certa desigualdade seja verdadeira de forma estrita e outra onde a igualdade aconteça.

Passo 2

Primeiro, vamos criar um exemplo onde a desigualdade seja estrita. Pense numa função simples, por exemplo, uma função que nunca atinge seu valor máximo. Vamos usar a função f(x) = x definida no intervalo D = [0,1). Aqui, f(D) = x mid x in [0,1), ou seja, todos os valores de x de 0 até, mas sem incluir, 1.

Passo 3

O supremo de f nesse caso é sup f = 1, porque 1 é o menor número que é maior ou igual a todos os valores de f(x) no intervalo [0,1). No entanto, note que 1 não é atingido por nenhum f(x), já que o intervalo vai até, mas não inclui, 1. Isso faz com que a desigualdade seja estrita: sup f > f(x) para todo x in D.

Passo 4

Agora, vamos criar um exemplo onde a igualdade acontece, ou seja, o supremo é exatamente um dos valores da função. Para isso, vamos usar uma função que atinge seu valor máximo no domínio. Por exemplo, considere g(x) = x definida no intervalo D = [0,1]. Aqui, g(D) = x mid x in [0,1].

Passo 5

O supremo de g nesse caso também é sup g = 1, mas diferente do primeiro exemplo, 1 é atingido por g(x) quando x = 1. Portanto, a igualdade sup g = g(x) ocorre para x = 1.

Resposta

  1. Exemplo com desigualdade estrita: A função f(x) = x definida no intervalo D = [0,1) tem sup f = 1, mas nenhum x in D faz f(x) = 1, então sup f > f(x) para todo x in D.
  2. Exemplo com igualdade: A função g(x) = x definida no intervalo D = [0,1] tem sup g = 1, e g(1) = 1, portanto sup g = g(x) para x = 1.

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