Seja
uma função com domínio
. Por sup
designa-se o supremo do conjunto
.
Apresente um exemplo no qual a desigualdade em (c) seja estrita (Sugestão: letra (a)) e um outro no qual valha a igualdade (Sugestão: pense no caso mais simples possível).
Apresente um exemplo no qual a desigualdade em (c) seja estrita (Sugestão: letra (a)) e um outro no qual valha a igualdade (Sugestão: pense no caso mais simples possível).
Passo 1
Vamos lá! A questão fala sobre funções e algo chamado “supremo” de uma função. O supremo de uma função
, escrito como
, é o menor número que é maior ou igual a todos os valores que a função pode assumir. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é supremo e como construir funções que atendam às condições pedidas: uma onde uma certa desigualdade seja verdadeira de forma estrita e outra onde a igualdade aconteça.
Passo 2
Primeiro, vamos criar um exemplo onde a desigualdade seja estrita. Pense numa função simples, por exemplo, uma função que nunca atinge seu valor máximo. Vamos usar a função
definida no intervalo
. Aqui,
, ou seja, todos os valores de
de 0 até, mas sem incluir, 1.
Passo 3
O supremo de
nesse caso é
, porque 1 é o menor número que é maior ou igual a todos os valores de
no intervalo
. No entanto, note que 1 não é atingido por nenhum
, já que o intervalo vai até, mas não inclui, 1. Isso faz com que a desigualdade seja estrita:
para todo
.
Passo 4
Agora, vamos criar um exemplo onde a igualdade acontece, ou seja, o supremo é exatamente um dos valores da função. Para isso, vamos usar uma função que atinge seu valor máximo no domínio. Por exemplo, considere
definida no intervalo
. Aqui,
.
Passo 5
O supremo de
nesse caso também é
, mas diferente do primeiro exemplo, 1 é atingido por
quando
. Portanto, a igualdade
ocorre para
.
Resposta
- Exemplo com desigualdade estrita: A função
definida no intervalo tem , mas nenhum faz , então para todo . - Exemplo com igualdade: A função
definida no intervalo tem , e , portanto para .