Seja a equação diferencial
y^prime prime-2 y^prime+y=4 x^2-3+x^-1 e^x
Leve a cabo suas ideias e resolva a equação diferencial.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y''-2y'+y=4x^2-3+x^-1e^x
O conteúdo é resolução de EDO linear não-homogênea: precisamos achar a solução geral da parte homogênea e, em seguida, uma particular, usando método de coeficientes indeterminados para o termo polinomial e variação de parâmetros para o termo x^-1e^x.

Passo 2

Resolvendo a parte homogênea, consideramos a equação característica
r^2-2r+1=0
que é (r-1)^2=0. Logo as raízes são r =1 dupla, e a solução homogênea é
yh=(C1+C2x)e^x

Passo 3

Procuramos uma particular yp1 para o termo polinomial 4x^2-3. Fazemos o palpite
yp1=ax^2+bx+c
Calculamos
yp1'=2ax+b, yp1''=2a,
logo
L[yp1]=yp1''-2yp1'+yp1 =2a-2(2ax+b)+(ax^2+bx+c) =ax^2+(b-4a)x+(2a-2b+c)
Igualando a 4x^2+0x-3 obtemos
a=4, b-4a=0implies b=16, 2a-2b+c=-3implies c=21
Assim
yp1=4x^2+16x+21

Passo 4

Para o termo x^-1e^x usamos variação de parâmetros com as soluções fundamentais y1=e^x e y2=xe^x. Impondo
u1'y1+u2'y2=0,
u1'y1'+u2'y2'=x^-1e^x,
e sabendo que
y1'=e^x, y2'=e^x(1+x),
temos o sistema
u1'+xu2'=0,
u1'+(1+x)u2'=x^-1
Subtraindo a primeira da segunda vêm
u2'=1x, u1'=-xcdot u2'=-1
Integramos:
u2=ln|x|, u1=-x
Logo a particular
yp2=u1y1+u2y2 =-x,e^x+(ln|x|),x e^x =x e^x(ln|x|-1)

Passo 5

A solução geral da equação é
y=yh+yp1+yp2 =(C1+C2x)e^x+4x^2+16x+21+x e^x(ln|x|-1)

Resposta

y(x)=C1e^x+C2x e^x+4x^2+16x+21+x e^x(ln|x|-1)

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