Considere o sistema linear a seguir.
5 x1-x2+x3 & =3 3 x1+4 x2+2 x3 & =5 -3 x1+3 x2+6 x3 & =-6
Verifique se esse sistema satisfaz o critério de Sassenfeld.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me trouxe um sistema de equações lineares e pediu para verificar se ele satisfaz o critério de Sassenfeld. Esse critério é usado para saber se métodos iterativos, tipo o de Gauss-Seidel, vão funcionar para resolver o sistema. Para isso, vamos precisar mexer com os coeficientes das equações e calcular alguns valores específicos. Vamos destrinchar isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o critério de Sassenfeld. Ele nos ajuda a determinar se um método iterativo vai convergir para a solução do sistema de equações. A ideia é calcular parâmetros chamados ω₁, ω₂, ω₃, etc., e verificar se todos eles são menores que 1. Se sim, então o método vai funcionar direitinho.

Passo 3

Vamos começar identificando os coeficientes das equações do sistema:
5 x1 - x2 + x3 & = 3 (Equação 1) 3 x1 + 4 x2 + 2 x3 & = 5 (Equação 2) -3 x1 + 3 x2 + 6 x3 & = -6 (Equação 3) çãçãçã
Aqui, os coeficientes das variáveis são:
  • Para a Equação 1: a₁₁ = 5, a₁₂ = -1, a₁₃ = 1
  • Para a Equação 2: a₂₁ = 3, a₂₂ = 4, a₂₃ = 2
  • Para a Equação 3: a₃₁ = -3, a₃₂ = 3, a₃₃ = 6

Passo 4

Agora, vamos calcular os valores de ω para cada equação. A fórmula geral é:
omegai = 1|aii| ( sumj=1^i-1 |aij| omegaj + sumj=i+1^n |aij| )
Onde:
  • $ \omega_i $ é o parâmetro para a i-ésima equação
  • $ a_{ii} $ é o coeficiente da variável $ x_i $ na i-ésima equação
  • As somas são sobre os coeficientes das outras variáveis na equação
Vamos calcular passo a passo:

Passo 5

Calculando ω₁:
Para a primeira equação, não temos termos anteriores, então:
omega1 = 1|5| ( | -1 | + |1| ) = 15 (1 + 1) = 25 = 0.4

Passo 6

Calculando ω₂:
Para a segunda equação:
omega2 = 1|4| ( |3| cdot omega1 + |2| ) = 14 (3 cdot 0.4 + 2) = 14 (1.2 + 2) = 3.24 = 0.8

Passo 7

Calculando ω₃:
Para a terceira equação:
omega3 = 1|6| ( | -3 | cdot omega1 + |3| cdot omega2 ) = 16 (3 cdot 0.4 + 3 cdot 0.8) = 16 (1.2 + 2.4) = 3.66 = 0.6

Resposta

Como todos os valores de ω são:
  • ω₁ = 0.4
  • ω₂ = 0.8
  • ω₃ = 0.6
E todos são menores que 1, o sistema satisfaz o critério de Sassenfeld!

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