Considere o sistema linear a seguir.
Verifique se esse sistema satisfaz o critério de Sassenfeld.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me trouxe um sistema de equações lineares e pediu para verificar se ele satisfaz o critério de Sassenfeld. Esse critério é usado para saber se métodos iterativos, tipo o de Gauss-Seidel, vão funcionar para resolver o sistema. Para isso, vamos precisar mexer com os coeficientes das equações e calcular alguns valores específicos. Vamos destrinchar isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o critério de Sassenfeld. Ele nos ajuda a determinar se um método iterativo vai convergir para a solução do sistema de equações. A ideia é calcular parâmetros chamados ω₁, ω₂, ω₃, etc., e verificar se todos eles são menores que 1. Se sim, então o método vai funcionar direitinho.
Passo 3
Vamos começar identificando os coeficientes das equações do sistema:
Aqui, os coeficientes das variáveis são:
- Para a Equação 1: a₁₁ = 5, a₁₂ = -1, a₁₃ = 1
- Para a Equação 2: a₂₁ = 3, a₂₂ = 4, a₂₃ = 2
- Para a Equação 3: a₃₁ = -3, a₃₂ = 3, a₃₃ = 6
Passo 4
Agora, vamos calcular os valores de ω para cada equação. A fórmula geral é:
Onde:
- $ \omega_i $ é o parâmetro para a i-ésima equação
- $ a_{ii} $ é o coeficiente da variável $ x_i $ na i-ésima equação
- As somas são sobre os coeficientes das outras variáveis na equação
Vamos calcular passo a passo:
Passo 5
Calculando ω₁:
Para a primeira equação, não temos termos anteriores, então:
Passo 6
Calculando ω₂:
Para a segunda equação:
Passo 7
Calculando ω₃:
Para a terceira equação:
Resposta
Como todos os valores de ω são:
- ω₁ = 0.4
- ω₂ = 0.8
- ω₃ = 0.6
E todos são menores que 1, o sistema satisfaz o critério de Sassenfeld!