Considere o sistema linear a seguir.
5 x1-x2+x3 & =3 3 x1+4 x2+2 x3 & =5 -3 x1+3 x2+6 x3 & =-6
Solucione esse sistema pelo método de Gauss-Seidel com varepsilon=0,01

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares usando o método de Gauss-Seidel! O sistema que temos é:
5 x1 - x2 + x3 & = 3 3 x1 + 4 x2 + 2 x3 & = 5 -3 x1 + 3 x2 + 6 x3 & = -6
Vamos precisar conhecer o método de Gauss-Seidel, que é uma técnica iterativa para resolver sistemas lineares. A gente vai usar uma precisão de varepsilon = 0,01, ou seja, queremos que as soluções fiquem com erro menor que 1 centésimo.

Passo 2

Primeiro, vamos rearranjar cada equação para isolar uma das incógnitas. Isso ajuda a definir como vamos atualizar os valores a cada iteração. Vamos isolar x1, x2 e x3:
  1. Da primeira equação:
5 x1 = 3 + x2 - x3 x1 = 3 + x2 - x35
  1. Da segunda equação:
4 x2 = 5 - 3 x1 - 2 x3 x2 = 5 - 3 x1 - 2 x34
  1. Da terceira equação:
6 x3 = -6 + 3 x1 - 3 x2 x3 = -6 + 3 x1 - 3 x26

Passo 3

Agora, precisamos de uma estimativa inicial para as variáveis. Vamos começar com:
x1^(0) = 0 x2^(0) = 0 x3^(0) = 0
Esses são nossos valores de partida para começar as iterações.

Passo 4

Vamos aplicar a fórmula que montamos para atualizar os valores. Na primeira iteração, usamos os valores iniciais:
Para x1:
x1^(1) = 3 + x2^(0) - x3^(0)5 = 3 + 0 - 05 = 0,6
Para x2:
x2^(1) = 5 - 3 x1^(1) - 2 x3^(0)4 = 5 - 3 times 0,6 - 2 times 04 = 5 - 1,84 = 0,8
Para x3:
x3^(1) = -6 + 3 x1^(1) - 3 x2^(1)6 = -6 + 3 times 0,6 - 3 times 0,86 = -6 + 1,8 - 2,46 = -6 - 0,66 = -1,1
Então, nossos novos valores são:
x1^(1) = 0,6 x2^(1) = 0,8 x3^(1) = -1,1

Passo 5

Vamos para a segunda iteração, usando os valores atualizados da iteração anterior:
Para x1:
x1^(2) = 3 + x2^(1) - x3^(1)5 = 3 + 0,8 - (-1,1)5 = 3 + 0,8 + 1,15 = 4,95 = 0,98
Para x2:
x2^(2) = 5 - 3 x1^(2) - 2 x3^(1)4 = 5 - 3 times 0,98 - 2 times (-1,1)4 = 5 - 2,94 + 2,24 = 4,264 = 1,065
Para x3:
x3^(2) = -6 + 3 x1^(2) - 3 x2^(2)6 = -6 + 3 times 0,98 - 3 times 1,0656 = -6 + 2,94 - 3,1956 = -6,0786 = -1,013
Novos valores:
x1^(2) = 0,98 x2^(2) = 1,065 x3^(2) = -1,013

Passo 6

Vamos para a terceira iteração:
Para x1:
x1^(3) = 3 + x2^(2) - x3^(2)5 = 3 + 1,065 - (-1,013)5 = 3 + 1,065 + 1,0135 = 5,0785 = 1,0156
Para x2:
x2^(3) = 5 - 3 x1^(3) - 2 x3^(2)4 = 5 - 3 times 1,0156 - 2 times (-1,013)4 = 5 - 3,0468 + 2,0264 = 3,97924 = 0,9948
Para x3:
x3^(3) = -6 + 3 x1^(3) - 3 x2^(3)6 = -6 + 3 times 1,0156 - 3 times 0,99486 = -6 + 3,0468 - 2,98446 = -5,93766 = -0,9896
Novos valores:
x1^(3) = 1,0156 x2^(3) = 0,9948 x3^(3) = -0,9896

Passo 7

Vamos verificar a diferença entre os valores da terceira e da segunda iteração para ver se já atingimos a precisão de 0,01:
Para x1:
|1,0156 - 0,98| = 0,0356 > 0,01
Como a diferença é maior que 0,01, precisamos continuar iterando.

Passo 8

Quarta iteração:
Para x1:
x1^(4) = 3 + x2^(3) - x3^(3)5 = 3 + 0,9948 - (-0,9896)5 = 3 + 0,9948 + 0,98965 = 4,98445 = 0,9969
Para x2:
x2^(4) = 5 - 3 x1^(4) - 2 x3^(3)4 = 5 - 3 times 0,9969 - 2 times (-0,9896)4 = 5 - 2,9907 + 1,97924 = 3,98854 = 0,9971
Para x3:
x3^(4) = -6 + 3 x1^(4) - 3 x2^(4)6 = -6 + 3 times 0,9969 - 3 times 0,99716 = -6 + 2,9907 - 2,99136 = -6,00066 = -1,0001
Novos valores:
x1^(4) = 0,9969 x2^(4) = 0,9971 x3^(4) = -1,0001

Passo 9

Vamos verificar a diferença entre a quarta e a terceira iteração:
Para x1:
|0,9969 - 1,0156| = 0,0187 > 0,01
Ainda não atingimos a precisão desejada, então vamos continuar.

Passo 10

Quinta iteração:
Para x1:
x1^(5) = 3 + x2^(4) - x3^(4)5 = 3 + 0,9971 - (-1,0001)5 = 3 + 0,9971 + 1,00015 = 4,99725 = 0,9994
Para x2:
x2^(5) = 5 - 3 x1^(5) - 2 x3^(4)4 = 5 - 3 times 0,9994 - 2 times (-1,0001)4 = 5 - 2,9982 + 2,00024 = 4,00204 = 1,0005
Para x3:
x3^(5) = -6 + 3 x1^(5) - 3 x2^(5)6 = -6 + 3 times 0,9994 - 3 times 1,00056 = -6 + 2,9982 - 3,00156 = -6,00336 = -1,00055
Novos valores:
x1^(5) = 0,9994 x2^(5) = 1,0005 x3^(5) = -1,00055

Passo 11

Vamos verificar a diferença entre a quinta e a quarta iteração:
Para x1:
|0,9994 - 0,9969| = 0,0025 < 0,01
Para x2:
|1,0005 - 0,9971| = 0,0034 < 0,01
Para x3:
|-1,00055 - (-1,0001)| = 0,00045 < 0,01
Todas as diferenças são menores que 0,01! Então, paramos aqui.

Resposta

A solução aproximada do sistema pelo método de Gauss-Seidel com varepsilon=0,01 é:
x1 approx 1,00 x2 approx 1,00 x3 approx -1,00

Exercícios relacionados