Considere o sistema linear a seguir.
Solucione esse sistema pelo método de Gauss-Seidel
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares usando o método de Gauss-Seidel! O sistema que temos é:
Vamos precisar conhecer o método de Gauss-Seidel, que é uma técnica iterativa para resolver sistemas lineares. A gente vai usar uma precisão de
, ou seja, queremos que as soluções fiquem com erro menor que 1 centésimo.
Passo 2
Primeiro, vamos rearranjar cada equação para isolar uma das incógnitas. Isso ajuda a definir como vamos atualizar os valores a cada iteração. Vamos isolar
,
e
:
- Da primeira equação:
- Da segunda equação:
- Da terceira equação:
Passo 3
Agora, precisamos de uma estimativa inicial para as variáveis. Vamos começar com:
Esses são nossos valores de partida para começar as iterações.
Passo 4
Vamos aplicar a fórmula que montamos para atualizar os valores. Na primeira iteração, usamos os valores iniciais:
Para
:
Para
:
Para
:
Então, nossos novos valores são:
Passo 5
Vamos para a segunda iteração, usando os valores atualizados da iteração anterior:
Para
:
Para
:
Para
:
Novos valores:
Passo 6
Vamos para a terceira iteração:
Para
:
Para
:
Para
:
Novos valores:
Passo 7
Vamos verificar a diferença entre os valores da terceira e da segunda iteração para ver se já atingimos a precisão de 0,01:
Para
:
Como a diferença é maior que 0,01, precisamos continuar iterando.
Passo 8
Quarta iteração:
Para
:
Para
:
Para
:
Novos valores:
Passo 9
Vamos verificar a diferença entre a quarta e a terceira iteração:
Para
:
Ainda não atingimos a precisão desejada, então vamos continuar.
Passo 10
Quinta iteração:
Para
:
Para
:
Para
:
Novos valores:
Passo 11
Vamos verificar a diferença entre a quinta e a quarta iteração:
Para
:
Para
:
Para
:
Todas as diferenças são menores que 0,01! Então, paramos aqui.
Resposta
A solução aproximada do sistema pelo método de Gauss-Seidel com
é: