Considere que x=0.3839404142, y=0.383940999, z=193978.9717 \mathrm{e} w=981 \cdot 10^{3}. Estude a perda de dígitos significativos das operações abaixo, ou seja, trunca-se somente antes da operação. Sempre calcule o erro relativo, para cada caso. Observe os resultados.
z / w, exato e truncado em 5 casas decimais.

Passo 1

O enunciado fornece os valores
z=193978{,}9717,\qquad w=981\cdot10^{3}=981000,
e pede para estudar a operação \,z/w\, nas duas versões: exata (usar os valores fornecidos) e truncada em 5 casas decimais antes da operação (ou seja, truncar os operandos para 5 casas decimais e então dividir). Para cada versão é necessário calcular o erro relativo entre o valor exato e o valor obtido com os operandos truncados.

Passo 2

Definição de truncamento em 5 casas decimais: truncar um número significa manter apenas os 5 dígitos depois da vírgula e desprezar os restantes (sem arredondar). Aplicando aos operandos dados:
  • O número z dado é \,193978{,}9717. Truncando em 5 casas decimais obtemos
z_{\text{trunc}}=193978{,}97170,
que numericamente é igual a 193978{,}9717 (apenas acrescentou-se um zero à direita).
  • O número w dado é \,981000. Truncando em 5 casas decimais obtemos
w_{\text{trunc}}=981000{,}00000,
que numericamente é igual a 981000.
Portanto, neste caso os operandos truncados coincidem numericamente com os originais.

Passo 3

Definição do erro relativo que vamos usar:
seja
q_{\text{exato}}=\frac{z}{w}, \qquad q_{\text{trunc}}=\frac{z_{\text{trunc}}}{w_{\text{trunc}}}.
O erro relativo é
\varepsilon_{\text{rel}}=\frac{\left|q_{\text{exato}}-q_{\text{trunc}}\right|}{\left|q_{\text{exato}}\right|}.

Passo 4

Cálculo do quociente exato. Escrevendo z como fração inteira:
z=193978{,}9717=\frac{1939789717}{10000}.
Logo
q_{\text{exato}}=\frac{z}{w}=\frac{1939789717}{10000\cdot981000}=\frac{1939789717}{9810000000}.
Agora a forma decimal (dividindo) é
q_{\text{exato}}\approx 0{,}197735954844.
(Verificação rápida: 0{,}197735954844\times981000\approx193978{,}971701964, muito próximo de z; a diferença é da ordem de 10^{-6} no produto e da ordem de 10^{-12} no quociente.)

Passo 5

Cálculo do quociente com operandos truncados. Como observado no Passo 2,
z_{\text{trunc}}=z,\qquad w_{\text{trunc}}=w.
Portanto
q_{\text{trunc}}=\frac{z_{\text{trunc}}}{w_{\text{trunc}}}=\frac{z}{w}=q_{\text{exato}}\approx0{,}197735954844.

Passo 6

Cálculo do erro relativo. Como q_{\text{trunc}}=q_{\text{exato}},
\varepsilon_{\text{rel}}=\frac{\left|q_{\text{exato}}-q_{\text{trunc}}\right|}{\left|q_{\text{exato}}\right|}=0.

Passo 7

Interpretação didática e observação: a perda de dígitos significativos acontece geralmente quando truncamos ou arredondamos um operando de forma a perder informação relevante — especialmente perigosa em soma/subtração entre números de sinais opostos ou magnitudes próximas (cancelamento catastrófico). Aqui, truncar em 5 casas decimais não alterou nenhum dos operandos (um já tinha 4 casas decimais e o outro era inteiro), então não houve perda e o erro relativo é zero. Se a pergunta pedisse truncar em menos casas (por exemplo, em 0 casas decimais ou em 2 casas) aí sim poderia haver diferença e deveríamos recalcular o quociente e \varepsilon_{\text{rel}}.

Resposta

q_{\text{exato}}=\dfrac{1939789717}{9810000000}\approx0{,}197735954844
q_{\text{trunc}}=q_{\text{exato}}\approx0{,}197735954844
\varepsilon_{\text{rel}}=0

Exercícios relacionados