Considere que x=0.3839404142, y=0.383940999, z=193978.9717 \mathrm{e} w=981 \cdot 10^{3}. Estude a perda de dígitos significativos das operações abaixo, ou seja, trunca-se somente antes da operação. Sempre calcule o erro relativo, para cada caso. Observe os resultados.
z-w, exato e truncado em 2 casas decimais.

Passo 1

O enunciado dá os números (vou listar os que interessam para a operação pedida):
  • \;x=0,3839404142 (não será usado nesta subquestão).
  • \;y=0,383940999 (não será usado nesta subquestão).
  • \;z=193978,9717.
  • \;w=981\cdot10^{3} (ou seja \;w=981000).
O que pediram: estudar a perda de dígitos significativos na operação \;z-w quando:
  • (a) calculamos o resultado exato usando os valores dados; e
  • (b) calculamos o resultado após truncar cada operando com exatamente 2 casas decimais (trunca-se somente antes da operação).
Sempre devo calcular o erro relativo entre o valor truncado e o valor exato.

Passo 2

Definições e notação que vou usar:
  • Chamo de \;T_2(\cdot) a função “truncar para 2 casas decimais”. Por exemplo, T_2(193978,9717)=193978,97.
  • Resultado exato: \;D_{\text{exato}}=z-w.
  • Resultado com truncamento prévio: \;D_{\text{trunc}}=T_2(z)-T_2(w).
  • Erro absoluto: \;E_{\text{abs}}=\bigl|D_{\text{trunc}}-D_{\text{exato}}\bigr|.
  • Erro relativo: \;E_{\text{rel}}=\dfrac{E_{\text{abs}}}{\bigl|D_{\text{exato}}\bigr|}.
Explicação do truncamento: truncar para 2 casas decimais significa manter os dois primeiros dígitos decimais e descartar o restante (sem arredondar). Em fórmula,
T_2(a)=\frac{\lfloor 100\cdot a\rfloor}{100}.

Passo 3

Calcular o resultado exato \;D_{\text{exato}}=z-w:
D_{\text{exato}}=193978,9717-981000 = -787021,0283.
(afiirmei a subtração alinhando as casas; sinal negativo porque z<w.)

Passo 4

Truncar os operandos para 2 casas decimais antes da operação:
T_2(z)=193978,97,\qquad T_2(w)=981000,00
(obs.: w já é inteiro, portanto permanece 981000,00 após truncamento).

Passo 5

Calcular o resultado com os valores truncados:
D_{\text{trunc}}=T_2(z)-T_2(w)=193978,97-981000,00 = -787021,03.

Passo 6

Calcular o erro absoluto:
E_{\text{abs}}=\bigl|D_{\text{trunc}}-D_{\text{exato}}\bigr| =\bigl|-787021,03-(-787021,0283)\bigr|=0,0017.
Observação útil: aqui o erro absoluto na diferença é exatamente o erro introduzido por truncar z (pois w não mudou): 193978,9717-193978,97=0,0017.

Passo 7

Calcular o erro relativo usando a definição:
E_{\text{rel}}=\frac{E_{\text{abs}}}{\bigl|D_{\text{exato}}\bigr|} =\frac{0,0017}{787021,0283}\approx 2,16\times10^{-9}.
Cálculo aproximado: \;0,0017\div787021,0283\approx 2{,}1606\cdot10^{-9}. Em ordem de grandeza, o erro relativo é da casa de 10^{-9}.

Passo 8

Interpretação (didática e prática para prova):
  • O erro absoluto é muito pequeno ( 1{,}7\times10^{-3}), e o erro relativo é minúsculo ( \sim2,16\times10^{-9}). Isso significa que, nesta subtração específica, truncar para 2 casas decimais antes da operação praticamente não prejudicou a precisão relativa do resultado final.
  • Não houve “catastrophic cancellation” aqui porque z e w não são close em ordem de grandeza (a diferença é da ordem de 10^{5}). A perda de dígitos significativos costuma ser crítica quando se subtrai dois números muito próximos; neste caso a subtração preserva muitas casas corretas.
  • Estimativa do número de dígitos significativos preservados: aproximando por -\log_{10}(E_{\text{rel}}), obtemos
-\log_{10}\bigl(2{,}16\times10^{-9}\bigr)\approx 8{,}66,
ou seja, cerca de 8 dígitos significativos corretos permanecem — um resultado muito bom considerando o truncamento prévio em 2 casas.
Força aí: o método é sempre o mesmo na prova — calcule o exato, calcule o truncado (ou arredondado) antes da operação, encontre o erro absoluto e divida pelo valor exato em módulo para obter o erro relativo. Isso mostra se houve perda de dígitos significativa.

Resposta

\;D_{\text{exato}}=z-w=-787021,0283
\;D_{\text{trunc}}=T_2(z)-T_2(w)=-787021,03
\;E_{\text{rel}}\approx2{,}16\times10^{-9}

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