Considere que x=0.3839404142, y=0.383940999, z=193978.9717 \mathrm{e} w=981 \cdot 10^{3}. Estude a perda de dígitos significativos das operações abaixo, ou seja, trunca-se somente antes da operação. Sempre calcule o erro relativo, para cada caso. Observe os resultados. z-w, exato e truncado em 2 casas decimais.
Passo 1
O enunciado dá os números (vou listar os que interessam para a operação pedida):
\;x=0,3839404142 (não será usado nesta subquestão).
\;y=0,383940999 (não será usado nesta subquestão).
\;z=193978,9717.
\;w=981\cdot10^{3} (ou seja \;w=981000).
O que pediram: estudar a perda de dígitos significativos na operação \;z-w quando:
(a) calculamos o resultado exato usando os valores dados; e
(b) calculamos o resultado após truncar cada operando com exatamente 2 casas decimais (trunca-se somente antes da operação).
Sempre devo calcular o erro relativo entre o valor truncado e o valor exato.
Passo 2
Definições e notação que vou usar:
Chamo de \;T_2(\cdot) a função “truncar para 2 casas decimais”. Por exemplo, T_2(193978,9717)=193978,97.
Resultado exato: \;D_{\text{exato}}=z-w.
Resultado com truncamento prévio: \;D_{\text{trunc}}=T_2(z)-T_2(w).
Explicação do truncamento: truncar para 2 casas decimais significa manter os dois primeiros dígitos decimais e descartar o restante (sem arredondar). Em fórmula,
T_2(a)=\frac{\lfloor 100\cdot a\rfloor}{100}.
Passo 3
Calcular o resultado exato \;D_{\text{exato}}=z-w:
Cálculo aproximado: \;0,0017\div787021,0283\approx 2{,}1606\cdot10^{-9}. Em ordem de grandeza, o erro relativo é da casa de 10^{-9}.
Passo 8
Interpretação (didática e prática para prova):
O erro absoluto é muito pequeno (1{,}7\times10^{-3}), e o erro relativo é minúsculo (\sim2,16\times10^{-9}). Isso significa que, nesta subtração específica, truncar para 2 casas decimais antes da operação praticamente não prejudicou a precisão relativa do resultado final.
Não houve “catastrophic cancellation” aqui porque z e w não são close em ordem de grandeza (a diferença é da ordem de 10^{5}). A perda de dígitos significativos costuma ser crítica quando se subtrai dois números muito próximos; neste caso a subtração preserva muitas casas corretas.
Estimativa do número de dígitos significativos preservados: aproximando por -\log_{10}(E_{\text{rel}}), obtemos
ou seja, cerca de 8 dígitos significativos corretos permanecem — um resultado muito bom considerando o truncamento prévio em 2 casas.
Força aí: o método é sempre o mesmo na prova — calcule o exato, calcule o truncado (ou arredondado) antes da operação, encontre o erro absoluto e divida pelo valor exato em módulo para obter o erro relativo. Isso mostra se houve perda de dígitos significativa.