Seja equação
:
(a) Encontre a(s) solução(ões), caso exista(m).
(b) O que podemos dizer sobre a perda de dígitos significativos? Justifique.
(a) Encontre a(s) solução(ões), caso exista(m).
(b) O que podemos dizer sobre a perda de dígitos significativos? Justifique.
Passo 1
O enunciado dá a equação quadrática
e pede duas coisas:
- (a) encontrar a(s) solução(ões) — isto é, as raízes reais da equação, se existirem;
- (b) discutir perda de dígitos significativos (erros numéricos) e justificar.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A equação pode ser reescrita como a forma padrão de uma quadrática:
. - Coeficientes:
, , . - Temos uma discriminante grande:
.
Passo 2
Resolver simbolicamente com a fórmula quadrática. A fórmula geral para as raízes de
é
Aqui
,
,
. Substituindo:
e as raízes são
Isto responde (a) em forma fechada exata.
Passo 3
Explicar relações entre as raízes (Vieta) e uma identidade útil para evitar cancelamento. Pelas fórmulas de Viète, o produto das raízes é
Chamando
e
, as raízes são
Observe a identidade exata (multiplicando numerador e denominador pelo conjugado):
Portanto, exatamente,
onde
. Essa relação é útil numericamente.
Passo 4
Aproximações analíticas para ver as ordens de grandeza. Use expansão em série para
quando
é grande:
Com
obtemos (mantendo os termos dominantes)
Logo
e
Repare que os valores reais são estes (com correções extremamente pequenas de ordem muito menor que
).
Passo 5
Explicar a perda de dígitos significativos (catastrophic cancellation) se usar a fórmula direta para a raiz pequena. Para calcular
faz-se a subtração de dois números muito grandes e muito próximos:
e
são da ordem de
e a diferença real é da ordem de
. Em aritmética de ponto flutuante típica (double precision) o “epsilon de máquina” é aproximadamente
. Então a representação de um número da ordem
tem erro absoluto da ordem
Esse erro absoluto (≈
) é muito maior do que a diferença exata
(≈
). Portanto, ao computar
na máquina, a diferença será dominada pelo erro de arredondamento: a subtração destrói dígitos significativos e o resultado para
será completamente impreciso (basicamente ruído). Em outras palavras: a raíz grande pode ser calculada com boa precisão, mas a raiz pequena obtida diretamente pela fórmula padrão terá perda severa de precisão.
Passo 6
Mostrar o procedimento numericamente estável que deve ser usado na prática (como fazer na prova/computador):
- Calcule primeiro a raiz grande sem cancelamento:
Essa fórmula soma duas quantidades do mesmo sinal e ordem de grandeza, sem causar cancelamento (a soma é bem condicionada).
- Obtenha a raiz pequena usando a relação de produto (ou a identidade racionalizada):
Essas expressões evitam a subtração perigosa e produzem valores com precisão relativa adequada: o erro relativo em
será aproximadamente o mesmo que o erro relativo em
, que é pequeno (da ordem de
).
Passo 7
Resumo numérico e interpretação prática para a prova:
- As soluções exatas (forma fechada) são
- Aproximações úteis e interpretáveis são
- Não calcule
como em aritmética finita — faça primeiro e então (ou use a fórmula racionalizada ) para evitar perda de dígitos significativos.
Resposta
(a)
, isto é, as duas raízes reais
e
. Aproximações:
e
.\n(b) Há perda severa de dígitos significativos se calcular
pela diferença direta
, porque subtrai-se dois números da ordem
cuja diferença é da ordem
(catastrophic cancellation). Procedimento estável: calcule
e então
.