Seja equação x^{2}-10^{12} x=-1 :
(a) Encontre a(s) solução(ões), caso exista(m).
(b) O que podemos dizer sobre a perda de dígitos significativos? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá a equação quadrática
x^{2}-10^{12}x=-1
e pede duas coisas:
  • (a) encontrar a(s) solução(ões) — isto é, as raízes reais da equação, se existirem;
  • (b) discutir perda de dígitos significativos (erros numéricos) e justificar.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação pode ser reescrita como a forma padrão de uma quadrática: \,x^{2}-10^{12}x+1=0\,.
  • Coeficientes: a=1, b=-10^{12}, c=1.
  • Temos uma discriminante grande: \Delta = b^{2}-4ac = 10^{24}-4.

Passo 2

Resolver simbolicamente com a fórmula quadrática. A fórmula geral para as raízes de ax^{2}+bx+c=0 é
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
Aqui a=1, b=-10^{12}, c=1. Substituindo:
\Delta = (10^{12})^{2}-4 = 10^{24}-4,
e as raízes são
x=\frac{10^{12}\pm\sqrt{10^{24}-4}}{2}.
Isto responde (a) em forma fechada exata.

Passo 3

Explicar relações entre as raízes (Vieta) e uma identidade útil para evitar cancelamento. Pelas fórmulas de Viète, o produto das raízes é
x_1 x_2 = \frac{c}{a} = 1.
Chamando S=10^{12} e \Delta=\sqrt{S^{2}-4}, as raízes são
x_{\pm}=\frac{S\pm\Delta}{2}.
Observe a identidade exata (multiplicando numerador e denominador pelo conjugado):
\frac{S-\Delta}{2}=\frac{(S-\Delta)(S+\Delta)}{2(S+\Delta)}=\frac{S^{2}-\Delta^{2}}{2(S+\Delta)}=\frac{4}{2(S+\Delta)}=\frac{1}{\dfrac{S+\Delta}{2}}.
Portanto, exatamente,
x_{\text{small}}=\frac{S-\Delta}{2}=\frac{1}{x_{\text{big}}},
onde x_{\text{big}}=(S+\Delta)/2. Essa relação é útil numericamente.

Passo 4

Aproximações analíticas para ver as ordens de grandeza. Use expansão em série para \sqrt{S^{2}-4} quando S é grande:
\sqrt{S^{2}-4}=S\sqrt{1-\frac{4}{S^{2}}}=S\left(1-\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{S^{2}}+\cdots\right)=S-\frac{2}{S}+\cdots.
Com S=10^{12} obtemos (mantendo os termos dominantes)
\Delta \approx 10^{12}-2\cdot10^{-12}.
Logo
x_{\text{big}}=\frac{S+\Delta}{2}\approx\frac{2S-\tfrac{2}{S}}{2}=S-\frac{1}{S}\approx 10^{12}-10^{-12},
e
x_{\text{small}}=\frac{S-\Delta}{2}\approx\frac{1}{S}\approx 10^{-12}.
Repare que os valores reais são estes (com correções extremamente pequenas de ordem muito menor que 10^{-12}).

Passo 5

Explicar a perda de dígitos significativos (catastrophic cancellation) se usar a fórmula direta para a raiz pequena. Para calcular x_{\text{small}}=\dfrac{S-\Delta}{2} faz-se a subtração de dois números muito grandes e muito próximos: S e \Delta são da ordem de 10^{12} e a diferença real é da ordem de 10^{-12}. Em aritmética de ponto flutuante típica (double precision) o “epsilon de máquina” é aproximadamente \varepsilon\approx 2\times10^{-16}. Então a representação de um número da ordem S=10^{12} tem erro absoluto da ordem
\text{erro absoluto} \sim S\varepsilon \approx 10^{12}\cdot 2\times10^{-16}=2\times10^{-4}.
Esse erro absoluto (≈ 2\times10^{-4}) é muito maior do que a diferença exata S-\Delta (≈ 2\times10^{-12}). Portanto, ao computar S-\Delta na máquina, a diferença será dominada pelo erro de arredondamento: a subtração destrói dígitos significativos e o resultado para x_{\text{small}} será completamente impreciso (basicamente ruído). Em outras palavras: a raíz grande pode ser calculada com boa precisão, mas a raiz pequena obtida diretamente pela fórmula padrão terá perda severa de precisão.

Passo 6

Mostrar o procedimento numericamente estável que deve ser usado na prática (como fazer na prova/computador):
  • Calcule primeiro a raiz grande sem cancelamento:
x_{\text{big}}=\frac{S+\sqrt{S^{2}-4}}{2}.
Essa fórmula soma duas quantidades do mesmo sinal e ordem de grandeza, sem causar cancelamento (a soma é bem condicionada).
  • Obtenha a raiz pequena usando a relação de produto (ou a identidade racionalizada):
x_{\text{small}}=\frac{1}{x_{\text{big}}}=\frac{2}{S+\sqrt{S^{2}-4}}.
Essas expressões evitam a subtração perigosa e produzem valores com precisão relativa adequada: o erro relativo em x_{\text{small}} será aproximadamente o mesmo que o erro relativo em x_{\text{big}}, que é pequeno (da ordem de \varepsilon).

Passo 7

Resumo numérico e interpretação prática para a prova:
  • As soluções exatas (forma fechada) são
x=\frac{10^{12}\pm\sqrt{10^{24}-4}}{2}.
  • Aproximações úteis e interpretáveis são
x_{\text{big}}\approx 10^{12}-10^{-12},\qquad x_{\text{small}}\approx 10^{-12}.
  • Não calcule x_{\text{small}} como \dfrac{10^{12}-\sqrt{10^{24}-4}}{2} em aritmética finita — faça primeiro x_{\text{big}} e então x_{\text{small}}=1/x_{\text{big}} (ou use a fórmula racionalizada \dfrac{2}{10^{12}+\sqrt{10^{24}-4}}) para evitar perda de dígitos significativos.

Resposta

(a) \displaystyle x=\frac{10^{12}\pm\sqrt{10^{24}-4}}{2}, isto é, as duas raízes reais \displaystyle x_{\text{big}}=\frac{10^{12}+\sqrt{10^{24}-4}}{2} e \displaystyle x_{\text{small}}=\frac{10^{12}-\sqrt{10^{24}-4}}{2}. Aproximações: x_{\text{big}}\approx10^{12}-10^{-12} e x_{\text{small}}\approx10^{-12}.\n(b) Há perda severa de dígitos significativos se calcular x_{\text{small}} pela diferença direta \dfrac{10^{12}-\sqrt{10^{24}-4}}{2}, porque subtrai-se dois números da ordem 10^{12} cuja diferença é da ordem 10^{-12} (catastrophic cancellation). Procedimento estável: calcule x_{\text{big}}=\dfrac{10^{12}+\sqrt{10^{24}-4}}{2} e então x_{\text{small}}=1/x_{\text{big}}=\dfrac{2}{10^{12}+\sqrt{10^{24}-4}}.

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