Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um subespaço que é gerado por três vetores no espaço :
Queremos encontrar uma base para o complemento ortogonal de , ou seja, . Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como espaços vetoriais, subespaços e o complemento ortogonal, além de resolver sistemas lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o complemento ortogonal . Esse conjunto consiste em todos os vetores em que são ortogonais a todos os vetores de . Ou seja, se , então:
Aqui, representa o produto escalar. Então, precisamos encontrar todos os vetores que satisfazem essas três equações.
Passo 3
Vamos escrever essas equações de produto escalar:
Isso nos dá um sistema de três equações lineares com quatro incógnitas.
Passo 4
Vamos organizar esse sistema na forma matricial , onde:
Nosso objetivo é encontrar o conjunto de soluções desse sistema homogêneo, que representa V^perp .
Passo 5
Para resolver o sistema Aw = 0 , vamos realizar a eliminação de Gauss para reduzir a matriz aumentada à forma escalonada.
Começando com a matriz:
1 & 2 & 1 & 2 2 & 4 & 1 & 2 5 & 10 & 1 & 2
Subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda:
Linha 2 = Linha 2 - 2 times Linha 1 Rightarrow (0, 0, -1, -2)
Subtraímos 5 vezes a primeira linha da terceira:
Linha 3 = Linha 3 - 5 times Linha 1 Rightarrow (0, 0, -4, -8)
Agora, nossa matriz fica:
1 & 2 & 1 & 2 0 & 0 & -1 & -2 0 & 0 & -4 & -8
Passo 6
Observamos que a terceira linha é múltiplo da segunda (multiplicada por 4). Isso significa que temos apenas duas equações independentes. Vamos simplificar a segunda equação dividindo por -1:
Linha 2 = (0, 0, 1, 2)
Agora, nossa matriz reduzida é:
1 & 2 & 1 & 2 0 & 0 & 1 & 2 0 & 0 & 0 & 0
Passo 7
A partir dessa forma escalonada, podemos escrever as equações correspondentes:
w1 + 2w2 + w3 + 2w4 = 0
w3 + 2w4 = 0
Vamos resolver essas equações para expressar w1 e w3 em termos de w2 e w4 :