Seja V o subespaço gerado pelos vetores
u1=(1,2,1,2), u2=(2,4,1,2), u3=(5,10,1,2)
Determine uma base do complemento ortogonal de V.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um subespaço V que é gerado por três vetores no espaço R^4:
u1 = (1, 2, 1, 2), u2 = (2, 4, 1, 2), u3 = (5, 10, 1, 2)
Queremos encontrar uma base para o complemento ortogonal de V , ou seja, V^perp . Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como espaços vetoriais, subespaços e o complemento ortogonal, além de resolver sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o complemento ortogonal V^perp . Esse conjunto consiste em todos os vetores em R^4 que são ortogonais a todos os vetores de V . Ou seja, se w in V^perp , então:
w cdot u1 = 0, w cdot u2 = 0, w cdot u3 = 0
Aqui, cdot representa o produto escalar. Então, precisamos encontrar todos os vetores w = (w1, w2, w3, w4) que satisfazem essas três equações.

Passo 3

Vamos escrever essas equações de produto escalar:
  1. w cdot u1 = w1 cdot 1 + w2 cdot 2 + w3 cdot 1 + w4 cdot 2 = 0
  2. w cdot u2 = w1 cdot 2 + w2 cdot 4 + w3 cdot 1 + w4 cdot 2 = 0
  3. w cdot u3 = w1 cdot 5 + w2 cdot 10 + w3 cdot 1 + w4 cdot 2 = 0
Isso nos dá um sistema de três equações lineares com quatro incógnitas.

Passo 4

Vamos organizar esse sistema na forma matricial Aw = 0 , onde:
A = 1 & 2 & 1 & 2 2 & 4 & 1 & 2 5 & 10 & 1 & 2 , w = w1 w2 w3 w4
Nosso objetivo é encontrar o conjunto de soluções desse sistema homogêneo, que representa V^perp .

Passo 5

Para resolver o sistema Aw = 0 , vamos realizar a eliminação de Gauss para reduzir a matriz aumentada à forma escalonada.
Começando com a matriz:
1 & 2 & 1 & 2 2 & 4 & 1 & 2 5 & 10 & 1 & 2
Subtraímos 2 vezes a primeira linha da segunda:
Linha 2 = Linha 2 - 2 times Linha 1 Rightarrow (0, 0, -1, -2)
Subtraímos 5 vezes a primeira linha da terceira:
Linha 3 = Linha 3 - 5 times Linha 1 Rightarrow (0, 0, -4, -8)
Agora, nossa matriz fica:
1 & 2 & 1 & 2 0 & 0 & -1 & -2 0 & 0 & -4 & -8

Passo 6

Observamos que a terceira linha é múltiplo da segunda (multiplicada por 4). Isso significa que temos apenas duas equações independentes. Vamos simplificar a segunda equação dividindo por -1:
Linha 2 = (0, 0, 1, 2)
Agora, nossa matriz reduzida é:
1 & 2 & 1 & 2 0 & 0 & 1 & 2 0 & 0 & 0 & 0

Passo 7

A partir dessa forma escalonada, podemos escrever as equações correspondentes:
  1. w1 + 2w2 + w3 + 2w4 = 0
  2. w3 + 2w4 = 0
Vamos resolver essas equações para expressar w1 e w3 em termos de w2 e w4 :
Da segunda equação:
w3 = -2w4
Substituindo na primeira equação:
w1 + 2w2 + (-2w4) + 2w4 = w1 + 2w2 = 0 Rightarrow w1 = -2w2

Passo 8

Agora, podemos expressar o vetor w em termos das variáveis livres w2 e w4 :
w = w1 w2 w3 w4 = -2w2 w2 -2w4 w4 = w2 -2 1 0 0 + w4 0 0 -2 1

Passo 9

Isso significa que qualquer vetor no complemento ortogonal V^perp pode ser escrito como combinação linear desses dois vetores:
V^perp = span -2 1 0 0 , 0 0 -2 1

Resposta

Uma base para o complemento ortogonal de V é formada pelos vetores
-2 1 0 0 e 0 0 -2 1

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