Seja uma esfera maciça de raio r_{o}, com uma densidade volumétrica de carga \rho_{0}=A \cdot r, envolta por uma casca esférica não condutora de raio interno r_{0} e raio externo r_{1}, com distribuição de cargas \rho_{1}=\mathrm{B} / \mathrm{r}^{2}, em que os coeficientes A e B são constantes.
(a) Calcule o campo elétrico vetorial em função da distância radial em todos os espaços. (2,5 pontos)
(b) Esboce um gráfico de campo elétrico em função da distância radial, especificando o valor nos limites das cascas. (0,5 ponto)
(c) Este sistema é inserido dentro de uma casca esférica condutora, concêntrica e aterrada. Qual é o campo elétrico dentro da casca condutora e qual é o potencial elétrico e o campo elétrico fora da casca? (total de 4 pontos)

Passo 1

Resumo do enunciado: temos uma carga volumétrica esférica maciça de raio r_{0} com densidade \rho_{0}(r)=A\,r, envolta por uma casca esférica não condutora de raios interno r_{0} e externo r_{1} com densidade \rho_{1}(r)=B/r^{2}. Queremos (a) o campo elétrico \vec E(r) em todas as regiões, (b) esboçar E(r) versus r indicando os valores nos limites das cascas, e (c) inserir esse conjunto dentro de uma casca condutora concêntrica aterrada, determinando o campo dentro da casca condutora e o potencial e campo fora dela.
Conteúdo: Lei de Gauss em simetria esférica.

Passo 2

Região interna à esfera carregada ( 0\le r<r_{0}).
Encaixotando em uma superfície gaussiana de raio r, a carga total interna é
Q_{\text{enc}}(r) =\int_{0}^{r}\rho_{0}(r')\,4\pi r'^{2}dr' =4\pi A\int_{0}^{r}r'^{3}dr' =\pi A\,r^{4}.
Pela Lei de Gauss,
\oint \vec E\cdot d\vec S =E(r)\,4\pi r^{2} =\frac{Q_{\text{enc}}(r)}{\varepsilon_{0}} \,\Longrightarrow\, E(r) =\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\, \frac{\pi A\,r^{4}}{r^{2}} =\frac{A\,r^{2}}{4\varepsilon_{0}}.
Logo
\vec E(r)=\frac{A\,r^{2}}{4\varepsilon_{0}}\;\hat r, \quad 0\le r<r_{0}.

Passo 3

Região dentro da casca não condutora ( r_{0}<r<r_{1}).
A carga total interna até r é a soma da esfera maciça inteira mais a parte da casca de r_{0} até r:
Q_{\text{enc}}(r) =\underbrace{\pi A\,r_{0}^{4}}_{Q_{\text{esfera}}} +\int_{r_{0}}^{r}\frac{B}{r'^{2}}\,4\pi r'^{2}dr' =\pi A\,r_{0}^{4}+4\pi B\,(r-r_{0}).
Então
E(r) =\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\, \frac{\pi A\,r_{0}^{4}+4\pi B\,(r-r_{0})}{r^{2}}.
Portanto
\vec E(r) =\frac{\pi A\,r_{0}^{4}+4\pi B\,(r-r_{0})}{4\pi\varepsilon_{0}\,r^{2}}\;\hat r, \quad r_{0}<r<r_{1}.

Passo 4

Região exterior ao conjunto carregado ( r>r_{1}).
A carga total interna é fixa:
Q_{\text{tot}} =\pi A\,r_{0}^{4}+4\pi B\,(r_{1}-r_{0}).
Assim, para r>r_{1},
E(r) =\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\, \frac{Q_{\text{tot}}}{r^{2}},
e portanto
\vec E(r) =\frac{Q_{\text{tot}}}{4\pi\varepsilon_{0}\,r^{2}}\;\hat r, \quad r>r_{1}.

Passo 5

Esboço de E(r) versus r:
  • Para 0\le r<r_{0}, E(r)\propto r^{2}, partindo de zero e crescendo até
E(r_{0})=\frac{A\,r_{0}^{2}}{4\varepsilon_{0}}.
  • Para r_{0}<r<r_{1}, E(r) é dada por \displaystyle\frac{\pi A\,r_{0}^{4}+4\pi B\,(r-r_{0})}{4\pi\varepsilon_{0}\,r^{2}}, contínua em r_{0}, variando até o valor em r_{1}:
E(r_{1}) =\frac{\pi A\,r_{0}^{4}+4\pi B\,(r_{1}-r_{0})}{4\pi\varepsilon_{0}\,r_{1}^{2}}.
  • Para r>r_{1}, E(r)\propto1/r^{2}, decaindo a partir desse E(r_{1}) em escala 1/r^{2}.

Passo 6

Inserindo o conjunto dentro de uma casca condutora concêntrica aterrada:
  • No interior do material condutor (entre as superfícies interna e externa da casca condutora) o campo elétrico é zero:
\vec E=0\quad\text{(dentro da espessura do condutor).}
  • A ligação à terra faz com que o potencial do condutor seja mantido em zero e que não reste carga líquida externa, logo fora da casca condutora
\vec E=0, \quad V(r)=0 \quad(r\ge\text{raio externo do condutor}).

Resposta

(a)
\vec E(r)= \begin{cases} \dfrac{A\,r^{2}}{4\varepsilon_{0}}\;\hat r, & 0\le r<r_{0},\\[6pt] \dfrac{\pi A\,r_{0}^{4}+4\pi B\,(r-r_{0})}{4\pi\varepsilon_{0}\,r^{2}}\;\hat r, & r_{0}<r<r_{1},\\[6pt] \dfrac{\pi A\,r_{0}^{4}+4\pi B\,(r_{1}-r_{0})}{4\pi\varepsilon_{0}\,r^{2}}\;\hat r, & r>r_{1}. \end{cases}
(b) Veja gráfico esquemático de E(r) com os valores em r_{0} e r_{1} indicados.
(c) Dentro da casca condutora \vec E=0. Fora da casca, \vec E=0 e V(r)=0.]

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