Seja uma esfera maciça de raio r_{o}, com uma densidade volumétrica de carga \rho_{0}=A \cdot r, envolta por uma casca esférica não condutora de raio interno r_{0} e raio externo r_{1}, com distribuição de cargas \rho_{1}=\mathrm{B} / \mathrm{r}^{2}, em que os coeficientes A e B são constantes.
(a) Calcule o campo elétrico vetorial em função da distância radial em todos os espaços. (2,5 pontos)
(b) Esboce um gráfico de campo elétrico em função da distância radial, especificando o valor nos limites das cascas. (0,5 ponto)
(c) Este sistema é inserido dentro de uma casca esférica condutora, concêntrica e aterrada. Qual é o campo elétrico dentro da casca condutora e qual é o potencial elétrico e o campo elétrico fora da casca? (total de 4 pontos)
Passo 1
Resumo do enunciado: temos uma carga volumétrica esférica maciça de raio r_{0} com densidade \rho_{0}(r)=A\,r, envolta por uma casca esférica não condutora de raios interno r_{0} e externo r_{1} com densidade \rho_{1}(r)=B/r^{2}. Queremos (a) o campo elétrico \vec E(r) em todas as regiões, (b) esboçar E(r) versus r indicando os valores nos limites das cascas, e (c) inserir esse conjunto dentro de uma casca condutora concêntrica aterrada, determinando o campo dentro da casca condutora e o potencial e campo fora dela.
Conteúdo: Lei de Gauss em simetria esférica.
Passo 2
Região interna à esfera carregada (0\le r<r_{0}).
Encaixotando em uma superfície gaussiana de raio r, a carga total interna é
Região dentro da casca não condutora (r_{0}<r<r_{1}).
A carga total interna até r é a soma da esfera maciça inteira mais a parte da casca de r_{0} até r:
Para 0\le r<r_{0}, E(r)\propto r^{2}, partindo de zero e crescendo até
E(r_{0})=\frac{A\,r_{0}^{2}}{4\varepsilon_{0}}.
Para r_{0}<r<r_{1}, E(r) é dada por \displaystyle\frac{\pi A\,r_{0}^{4}+4\pi B\,(r-r_{0})}{4\pi\varepsilon_{0}\,r^{2}}, contínua em r_{0}, variando até o valor em r_{1}: