Seja uma esfera de raio R carregada cuja densidade de carga interna é dada por rho(r)=a raizr, determine o campo dentro e fora da esfera em função do seu raio e da sua carga.

Passo 1

Então, olha só: a gente tem uma esfera de raio R com densidade de carga
rho(r)=araiz r. O assunto é Eletrostática – mais precisamente Lei de Gauss e integração pra achar carga. Pra resolver você vai precisar:
  • Entender o que é densidade volumétrica de carga e como integrar pra achar a carga interna até um certo raio.
  • Aplicar a Lei de Gauss numa situação de simetria esférica.

Passo 2

Bora lembrar a Lei de Gauss:
oint vec Ecdot dvec A ;=;Qrm intvarepsilon0
Como a esfera é simétrica, vec E é radial e tem mesmo módulo em toda a superfície de raio r. Então
E(r),4pi r^2 ;=;Qrm int(r)varepsilon0 Longrightarrow E(r)=Qrm int(r)4pivarepsilon0,r^2

Passo 3

Agora vamos achar Qrm int(r) para r<R integrando a densidade:
Qrm int(r) =integral0^r rho(r'),dV =integral0^r araizr',(4pi r'^2),dr' =4pi aintegral0^r r'^5/2dr' =8pi a7,r^7/2
Subindo isso em E(r)
E(r) =14pivarepsilon0, tfrac8pi a7r^7/2r^2 =2a7varepsilon0,r^3/2, r<R

Passo 4

Beleza, mas o enunciado pede em função da carga total Q. Note que
Q=Qrm int(R) =8pi a7R^7/2 Longrightarrow a=7Q8pi R^7/2
Substituindo em E(r) (para r<R) resulta
E(r) =27varepsilon0, 7Q8pi R^7/2,r^3/2 =Q4pivarepsilon0, r^3/2R^7/2, r<R

Passo 5

Pra fora da esfera ( r>R), toda carga Q fica dentro da superfície de raio r. Logo, pela Lei de Gauss
E(r),4pi r^2=Qvarepsilon0 Longrightarrow E(r)=Q4pivarepsilon0,r^2, r>R

Resposta

vec E(r)= Q4pivarepsilon0, r^3/2R^7/2;hat r, & r<R,[8pt] Q4pivarepsilon0, 1r^2;hat r, & r>R
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