Um sistema é formado por uma esfera condutora de raio R1 e carga 2 Q envolta por uma casca esférica concêntrica de raio R2, espessura desprezível e carga -5 Q. Considerando o centro das esferas a origem das coordenadas, calcule o campo elétrico no espaço para |r|<R1, R1<|r|<R2 e |r|>R2.

Passo 1

O enunciado descreve um sistema esférico concêntrico: uma esfera condutora maciça de raio R1 com carga 2Q e, em volta dela, uma casca esférica de raio R2, espessura desprezível, com carga -5Q. O centro é a origem. Para achar o campo elétrico nas três regiões lvert vec rrvert < R1, R1<lvert vec rrvert<R2 e lvert vec rrvert>R2, vamos usar a Lei de Gauss em superfícies esféricas concêntricas.

Passo 2

Na região interna à esfera condutora, lvert vec rrvert < R1, todo o excesso de carga em um condutor se aloja na superfície externa. Logo, não há carga no interior e o campo elétrico dentro de um metal em equilíbrio eletrostático é zero:
E(r)=0, lvert vec rrvert< R1

Passo 3

Para R1<lvert vec rrvert<R2, escolhemos uma superfície gaussiana esférica de raio r com R1<r<R2. Ela envolve apenas a carga 2Q da esfera interna. Pela Lei de Gauss:
oint E, dA = Qrm enclvarepsilon0 ;Rightarrow; E(r),4pi r^2 = 2Qvarepsilon0
therefore; E(r) = 14pivarepsilon0;2Qr^2;hat r, R1<lvert vec rrvert<R2

Passo 4

Para lvert vec rrvert>R2, a superfície gaussiana de raio r>R2 engloba as duas cargas juntas: 2Q + (-5Q) = -3Q. Pela Lei de Gauss:
E(r),4pi r^2 = -3Qvarepsilon0 ;Rightarrow; E(r) = 14pivarepsilon0;-3Qr^2;hat r, lvert vec rrvert>R2

Resposta

Para o campo elétrico vec E(r) temos:
(a) lvert vec rrvert< R1:
vec E(r)=0
(b) R1<lvert vec rrvert<R2:
vec E(r)=14pivarepsilon0;2Qr^2;hat r
(c) lvert vec rrvert>R2:
vec E(r)=14pivarepsilon0;-3Qr^2;hat r

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