Seja V um espaço vetorial e considere v1, v2, ldots, vn subset V. Sejam lambda2, ldots, lambdan números reais não nulos. Prove, usando a definição de independência linear, que v1, v2, ldots, vn é linearmente independente se, e somente se, v1, v1+lambda2 v2, v1+lambda3 v3, ldots, v1+lambdan vn for linearmente independente.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, num espaço vetorial V, o conjunto
v1,v2,dots,vn
é linearmente independente se, e somente se,
,v1,,v1+lambda2v2,,v1+lambda3v3,dots,,v1+lambdanvn
é linearmente independente, onde lambda2,dots,lambdan são escalares não nulos.
Vamos usar a definição de independência linear: um conjunto w1,dots,wm é independente se, sempre que
sumi=1^malphaiwi=0, então todos os alphai=0.

Passo 2

( Rightarrow) Suponha que v1,v2,dots,vn seja independente e considere uma combinação linear nula do segundo conjunto:
alpha1,v1+alpha2l(v1+lambda2v2r) +dots+alphanl(v1+lambdanvnr)=0
Agrupando termos, obtemos
l(sumi=1^nalphair)v1 +sumi=2^nalphai,lambdai,vi=0
Como v1,dots,vn é independente, os coeficientes de v1,v2,dots,vn devem ser zero:
sumi=1^nalphai=0 e alphai,lambdai=0(forall i>=2)
Cada lambdaineq0, logo alphai=0 para i>=2. Daí alpha1= -sumi=2^nalphai=0.
Logo todos os alphai=0 e o segundo conjunto é independente.

Passo 3

( Leftarrow) Agora suponha que
,v1,,v1+lambda2v2,dots,v1+lambdanvn
seja independente e tome uma combinação linear nula em v1,v2,dots,vn:
beta1v1+beta2v2+dots+betanvn=0
Para cada k>=2 escreva
vk=1lambdakl[(v1+lambdakvk)-v1r]
Substituindo em cima:
beta1v1 +sumk=2^nbetak,(v1+lambdakvk)-v1lambdak =0
Longrightarrow l(beta1-sumk=2^nbetaklambdakr)v1 +sumk=2^nbetaklambdakl(v1+lambdakvkr) =0
Pela independência do segundo conjunto, os coeficientes são todos zero:
betak/lambdak=0 para k>=2, logo betak=0, e
beta1-sumk=2^n(betak/lambdak)=0 implica beta1=0.
Assim, beta1=dots=betan=0 e v1,dots,vn é independente.

Resposta

Concluímos que
v1,v2,dots,vn
é linearmente independente se, e somente se,
,v1,,v1+lambda2v2,dots,v1+lambdanvn
é linearmente independente.

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