Seja
um espaço vetorial e considere
. Sejam
números reais não nulos. Prove, usando a definição de independência linear, que
é linearmente independente se, e somente se,
for linearmente independente.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, num espaço vetorial
, o conjunto
é linearmente independente se, e somente se,
é linearmente independente, onde são escalares não nulos.
Vamos usar a definição de independência linear: um conjunto é independente se, sempre que
, então todos os
.
é linearmente independente se, e somente se,
é linearmente independente, onde
Vamos usar a definição de independência linear: um conjunto
Passo 2
(
) Suponha que
seja independente e considere uma combinação linear nula do segundo conjunto:
Agrupando termos, obtemos
Como
é independente, os coeficientes de
devem ser zero:
Cada
, logo
para
. Daí
.
Logo todos os e o segundo conjunto é independente.
Logo todos os
Passo 3
(
) Agora suponha que
seja independente e tome uma combinação linear nula em :
seja independente e tome uma combinação linear nula em
Para cada
escreva
Substituindo em cima:
Pela independência do segundo conjunto, os coeficientes são todos zero:
para
, logo
, e
implica
.
Assim, e
é independente.
Assim,
Resposta
Concluímos que
é linearmente independente se, e somente se,
é linearmente independente.
é linearmente independente se, e somente se,
é linearmente independente.