Verifique se o conjunto de funções B é linearmente dependente ou independente em C(R) nos seguintes casos:
(v) B=x, cos x, sen x

Passo 1

O enunciado pede para verificar se x,cos x,sin x é um conjunto linearmente independente em C(R). Para isso, vamos usar a definição de independência: se uma combinação linear
a,x + bcos x + csin x = 0para todo xinR
implica a=b=c=0, então o conjunto é independente.

Passo 2

Assumimos que existem escalares ,a,b,cinR tais que
a,x + bcos x + csin x = 0
para todo x. Essa é uma identidade funcional.

Passo 3

Diferenciando a identidade em relação a x obtemos
a - bsin x + ccos x = 0
e diferenciando de novo
-,bcos x - csin x = 0

Passo 4

Da última equação
-bcos x - csin x = 0
para todo x, segue que b=0 e c=0, pois cos x e sin x são funções linearmente independentes. Substituindo b=0 e c=0 na segunda equação a - bsin x + ccos x=0 a=0. Logo, a única solução é a=b=c=0.

Resposta

O conjunto x,cos x,sin x é linearmente independente em C(R).

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