Verifique se o conjunto de funções
é linearmente dependente ou independente em
nos seguintes casos:
(v)
(v)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se
é um conjunto linearmente independente em
. Para isso, vamos usar a definição de independência: se uma combinação linear
implica
, então o conjunto é independente.
Passo 2
Assumimos que existem escalares
tais que
para todo
. Essa é uma identidade funcional.
Passo 3
Diferenciando a identidade em relação a
obtemos
e diferenciando de novo
Passo 4
Da última equação
para todo
, segue que
e
, pois
e
são funções linearmente independentes. Substituindo
e
na segunda equação
dá
. Logo, a única solução é
.
Resposta
O conjunto
é linearmente independente em
.