Verifique se os conjuntos A e B geram o mesmo subespaço do espaço vetorial V, nos seguintes casos:
(iii) A=1, t, t^2, t^3 e B=1,1+t, 1-t^2, 1-t-t^2, quando V=P3(R).

Passo 1

O enunciado quer saber se as famílias
A=1,;t,;t^2,;t^3 e
B=1,;1+t,;1-t^2,;1-t-t^2
geram o mesmo subespaço de V=P3(R).
Aqui o conteúdo é geradores e dimensão de subespaços poli­nomiais.

Passo 2

Primeiro observe que A tem quatro polinômios de graus 0,1,2,3. Como P3(R) é de dimensão 4, uma família de 4 vetores que contém cada grau de 0 a 3 é automaticamente base de P3(R). Logo
span(A) = P3(R)

Passo 3

Agora analisamos span(B). Seja
p(t) = alphacdot1 + beta,(1+t) + gamma,(1 - t^2) + de<a,(1 - t - t^2),
com alpha,beta,gamma,de<ainR. Agrupando termos,
p(t) = (alpha+beta+gamma+de<a) + (beta-de<a),t - (gamma+de<a),t^2 + 0cdot t^3
Repare que o coeficiente de t^3 é sempre zero. Assim todo polinômio em span(B) tem grau <=2. Portanto
span(B) subsetneq P3(R) e, de fato, span(B)=P2(R)

Passo 4

Como span(A)=P3(R) tem dimensão 4, mas span(B) só contém polinômios de grau até 2 (dimensão 3), concluímos que
span(A) neq span(B)

Resposta

As duas famílias não geram o mesmo subespaço de V.

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