Verifique se os conjuntos
e
geram o mesmo subespaço do espaço vetorial
, nos seguintes casos:
(iii)
e
, quando
.
(iii)
Passo 1
O enunciado quer saber se as famílias
e
geram o mesmo subespaço de .
Aqui o conteúdo é geradores e dimensão de subespaços polinomiais.
geram o mesmo subespaço de
Aqui o conteúdo é geradores e dimensão de subespaços polinomiais.
Passo 2
Primeiro observe que
tem quatro polinômios de graus
. Como
é de dimensão
, uma família de
vetores que contém cada grau de
a
é automaticamente base de
. Logo
Passo 3
Agora analisamos
. Seja
com
. Agrupando termos,
Repare que o coeficiente de
é sempre zero. Assim todo polinômio em
tem grau
. Portanto
Passo 4
Como
tem dimensão
, mas
só contém polinômios de grau até
(dimensão
), concluímos que
Resposta
As duas famílias não geram o mesmo subespaço de
.