Seja o espaço vetorial M(2,2). Determinar seus subespaços gerados pelos vetores
v1=[rr-1 & 2 1 & 0] e v2=[cc2 & 1 -1 & -1]

Passo 1

O enunciado pede o subespaço de M(2,2) gerado pelos vetores
v1=-1 & 2 [0.3em]1 & 0, v2=2 & 1 [0.3em]-1 & -1
O conteúdo é gerar subespaço, verificar independência linear e escrever a forma paramétrica ou uma base.]

Passo 2

Escrevemos uma combinação linear genérica
alpha,v1+beta,v2 =alpha-1 & 2 [0.3em]1 & 0 +beta2 & 1 [0.3em]-1 & -1 =-alpha+2beta & 2alpha+beta [0.3em]alpha-beta & -beta,
com alpha,betainR. Esse será todo elemento do subespaço.]

Passo 3

Para ver se são independentes, igualamos a combinação a zero:
-alpha+2beta & 2alpha+beta [0.3em]alpha-beta & -beta =0 & 0 [0.3em]0 & 0
Dessa forma:
-alpha+2beta=0, 2alpha+beta=0, alpha-beta=0, -beta=0
Da última equação beta=0, e daí alpha=0. Só a solução trivial prova que v1,v2 são LI.]

Passo 4

Como são independentes, o subespaço
Eliminando .]

Resposta

O subespaço gerado é
spanv1,v2 =lalpha,v1+beta,v2:alpha,betain Rr,
tem dimensão 2 e base v1,v2.

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