Seja um espaço vetorial de dimensão finita e seja um operador linear. Considere as seguintes afirmações:
I. é sobrejetor se, e somente se, para toda base de , o determinante da matriz é diferente de zero.
II. Se não for injetor, existe uma base de tal que contém uma coluna de zeros para qualquer base de .
III. Se e são bases de tais que , então T^3=0.
Escolha a alternativa correta.
(A) Apenas I e II são corretas.
(B) Apenas II e III são corretas.
(C) Apenas I é correta.
(D) As três afirmações são corretas.
(E) Nenhuma das afirmações é correta.
Passo 1
O enunciado está em Álgebra Linear, tratando de operadores lineares em espaço vetorial finito, invertibilidade, núcleo e potências de operador. Precisamos usar que em espaço de dimensão finita extsurjetividade Leftrightarrow injetividade Leftrightarrow invertibilidade (determinante não nulo, invariância de det sob mudança de base), construção de base que contém vetor do núcleo e cálculo de potências a partir da forma matricial.
Passo 2
Provar que I é correta. Num espaço vetorial de dimensão finita, T é sobrejetor LeftrightarrowT é invertível Leftrightarrowker T=0 e a matriz de T em qualquer base B tem det[T] Bneq0. Além disso, se det [T] Bneq0 em uma base, pela fórmula de mudança de base
[T] B' = P^-1[T] BP
temos
det[T] B' = det(P^-1)det([T] B)det(P) = det([T] B)neq0,
então vale para toda base. Logo I é verdadeira.
Passo 3
Provar que II é correta. Se T não é injetor, existe vneq0 com T(v)=0. Estendo v a uma base B=b1=v,b2,dots,bn. Para qualquer base C, a primeira coluna de [T] B C são as coordenadas de T(b1)=T(v)=0 em C, ou seja, coluna de zeros. Logo II é verdadeira.
Passo 4
Provar que III é correta. Dado
[T] D E = 2&0&0 1&5&0 0&0&0 ,
onde D=e1,e2,e3, E=e2,e3,e1. Escrevendo T(e1)=2e2+1e3, T(e2)=5e3, T(e3)=0,
temos