Seja um operador linear tal que . Prove que ou ou existe uma base de tal que .
Passo 1
O enunciado diz que T:R^2toR^2 é um operador linear que satisfaz
T^2 = T
O conteúdo principal aqui é o estudo de operadores idempotentes, usando o polinômio minimal e propriedades de diagonalização. Vamos ver como o fato T^2-T=0 limita os autovalores de T e nos permite encontrar uma base de autovetores.
Passo 2
O polinômio característico de T não é tão direto, mas do enunciado temos que
T^2 - T = 0 Longrightarrow T(T-I)=0
Isso significa que o polinômio
m(x)=x(x-1)
anula T, ou seja, o polinômio minimal de T divide x(x-1). As raízes de m(x) são 0 e 1, ambas simples, portanto T é diagonalizável e só pode ter autovalores lambda=0 ou lambda=1.
Passo 3
Como dimR^2=2 e T é diagonalizável com autovalores em 0,1, a soma das multiplicidades algébricas de 0 e 1 é 2. Há três possibilidades:
A multiplicidade de 0 é 2. Então todos os vetores são autovetores de valor próprio 0, logo T=0.
A multiplicidade de 1 é 2. Então todos os vetores são autovetores de valor próprio 1, logo T=I.
Cada autovalor aparece com multiplicidade 1. Então existe um autovetor v1neq0 com T(v1)=v1 e um autovetor v0neq0 com T(v0)=0. Como esses autovetores correspondem a autovalores distintos, eles são linearmente independentes e formam uma base B=(v1,v0). Na base B, a matriz de T é
[T]B = 1 & 0 0 & 0 ,
pois envia v1mapsto1cdot v1+0cdot v0 e v0mapsto0cdot v1+0cdot v0.