Sejam a, b in R e seja T: P2(R) R^3 a transformação linear cuja matriz em relação às bases canônicas de P2(R) e R^3 é [ccc1 & 1 & 0 -1 & 0 & -1 a & 0 & b]. Assinale a alternativa correta.
(A) Não existem a e b que tornem T injetora.
(B) T é bijetora para quaisquer a, b in R.
(C) T é bijetora para quaisquer a, b in R com a neq b.
(D) Não existem a, b in R que tornem T sobrejetora.
(E) T é bijetora se a=b.

Passo 1

O enunciado define T:P2(R)toR^3 dada, nas bases canônicas, pela matriz
M= 1 & 1 & 0 -1&0 & -1 a & 0 & b
Estamos em espaços de dimensão 3 para domínio e contradomínio, e o conteúdo envolve determinar quando T é injetora e sobrejetora (ou seja, bijetora) via invertibilidade da matriz.

Passo 2

Em dimensão finita igual, T é bijetora se e somente se a matriz M for invertível. Para matrizes 3times3, isso equivale a det(M)neq 0.

Passo 3

Vamos calcular o determinante de por desenvolvimento na primeira linha:

Passo 4

Da expressão det(M)=b-a, segue que M é invertível se, e somente se,
b - a neq 0 Long<=ftrightarrow a neq b

Passo 5

Portanto, T é injetora e sobrejetora exatamente quando aneq b. Entre as alternativas dadas, a correta é:

Resposta

(C) T é bijetora para quaisquer a,binR com aneq b.

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