Verdadeiro ou falso? Justifique suas respostas.
(i) Existe uma transformação linear T: P3(R) M2(R) cuja matriz em relação às bases canônicas é a matriz identidade.
(ii) Se T: P8(R) P8(R) é definida por T(p)=p^prime, então existe uma base de P8(R) tal que a matriz de T em relação a essa base é inversível.
(iii) Se T: R^3 M2(R) é uma transformação linear injetora, então a matriz de T em relação quaisquer bases de R^3 e M2(R) é inversível.
(iv) Seja V é um espaço vetorial de dimensão finita e seja T: V V é um operador linear. Então, T é sobrejetor se, e somente se, existe uma base de V tal que a matriz de T em relação a essa base é inversível.

Passo 1

O enunciado apresenta quatro afirmações sobre transformações lineares entre espaços vetoriais de dimensões finitas e pede para classificá-las como verdadeiras ou falsas, justificando cada resposta. A resolução envolve o uso de conceitos como dimensões, núcleo, imagem, o critério de invertibilidade de matrizes (aplicável apenas a matrizes quadradas) e a equivalência entre operadores lineares bijetivos e matrizes inversíveis em alguma base.

Passo 2

(i) Analisamos a transformação T: P3( R)to M2( R) cuja matriz nas bases canônicas é a identidade I4. Como dim P3( R)=4 e dim M2( R)=4, existe um isomorfismo linear entre esses espaços. Podemos definir T mapeando cada vetor da base canônica de P3 no vetor correspondente da base canônica de M2. A matriz de T será então:
I4 = 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1
Portanto, a afirmação (i) é verdadeira.

Passo 3

(ii) Considerando T: P8( R)to P8( R) definida por T(p)=p', o núcleo de T contém as constantes, o que implica dimker T>=1 e rankT=8 em um espaço de dimensão 9. Consequentemente, T não é bijetiva e não pode ser representada por uma matriz inversível em nenhuma base, pois a invertibilidade de uma matriz equivale à bijetividade do operador. Assim, a afirmação (ii) é falsa.

Passo 4

(iii) Para uma transformação injetora T: R^3to M2( R), temos dim R^3=3 e dim M2( R)=4. Em quaisquer bases, a matriz de T terá tamanho 4times3, não sendo quadrada e, portanto, não possuindo inversa no sentido usual. Logo, a afirmação de que essa matriz é inversível é falsa.

Passo 5

(iv) Para T:Vto V em um espaço de dimensão finita, o teorema estabelece que T é sobrejetora se, e somente se, é bijetora. A bijetividade equivale à existência de uma matriz inversível em qualquer base; em particular, existe pelo menos uma base na qual a matriz de T é inversível. Portanto, a afirmação (iv) é verdadeira.

Resposta

(i) Verdadeiro
(ii) Falso
(iii) Falso
(iv) Verdadeiro

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