Verdadeiro ou falso? Justifique suas respostas.
(i) Existe uma transformação linear cuja matriz em relação às bases canônicas é a matriz identidade.
(ii) Se é definida por , então existe uma base de tal que a matriz de em relação a essa base é inversível.
(iii) Se é uma transformação linear injetora, então a matriz de em relação quaisquer bases de e é inversível.
(iv) Seja é um espaço vetorial de dimensão finita e seja é um operador linear. Então, é sobrejetor se, e somente se, existe uma base de tal que a matriz de em relação a essa base é inversível.
Passo 1
O enunciado apresenta quatro afirmações sobre transformações lineares entre espaços vetoriais de dimensões finitas e pede para classificá-las como verdadeiras ou falsas, justificando cada resposta. A resolução envolve o uso de conceitos como dimensões, núcleo, imagem, o critério de invertibilidade de matrizes (aplicável apenas a matrizes quadradas) e a equivalência entre operadores lineares bijetivos e matrizes inversíveis em alguma base.
Passo 2
(i) Analisamos a transformação cuja matriz nas bases canônicas é a identidade . Como e , existe um isomorfismo linear entre esses espaços. Podemos definir mapeando cada vetor da base canônica de no vetor correspondente da base canônica de . A matriz de será então:
Portanto, a afirmação (i) é verdadeira.
Passo 3
(ii) Considerando T: P8( R)to P8( R) definida por T(p)=p', o núcleo de T contém as constantes, o que implica dimker T>=1 e rankT=8 em um espaço de dimensão 9. Consequentemente, T não é bijetiva e não pode ser representada por uma matriz inversível em nenhuma base, pois a invertibilidade de uma matriz equivale à bijetividade do operador. Assim, a afirmação (ii) é falsa.
Passo 4
(iii) Para uma transformação injetora T: R^3to M2( R), temos dim R^3=3 e dim M2( R)=4. Em quaisquer bases, a matriz de T terá tamanho 4times3, não sendo quadrada e, portanto, não possuindo inversa no sentido usual. Logo, a afirmação de que essa matriz é inversível é falsa.
Passo 5
(iv) Para T:Vto V em um espaço de dimensão finita, o teorema estabelece que T é sobrejetora se, e somente se, é bijetora. A bijetividade equivale à existência de uma matriz inversível em qualquer base; em particular, existe pelo menos uma base na qual a matriz de T é inversível. Portanto, a afirmação (iv) é verdadeira.
Resposta
(i) Verdadeiro
(ii) Falso
(iii) Falso
(iv) Verdadeiro