Seja V um espaço vetorial de dimensão finita e seja T: V V um operador linear de posto 1 (isto é, dim(Im(T))=1). Prove que ou T é diagonalizável ou T^2 é o operador nulo.

Passo 1

O enunciado diz que V é de dimensão finita e Tcolon Vto V é linear com dim(Im(T))=1. Queremos mostrar que ou T é diagonalizável ou T^2=0. Para isso, vamos usar a ideia de escrever T como produto de um funcional linear por um vetor que gere Im(T), depois analisar a equação polinomial que T satisfaz e tirar as deduções sobre diagonalização ou nulidade de T^2.

Passo 2

Como dim(Im(T))=1, existe win V, wneq 0, tal que
Im(T)=lang<= wrang<=
Então, para cada vin V, existe escalar f(v)in F com
T(v)=f(v),w
Define-se assim fcolon Vto F. Verifica-se facilmente que f é linear, pois
T(v+v')=f(v+v'),w e T(lambda v)=f(lambda v),w
e T é linear. Logo
f(v+v'),w + f(v'),w = T(v+v')=T(v)+T(v')=f(v),w+f(v'),w
implica f(v+v')=f(v)+f(v'), e similarmente para escalares.

Passo 3

Usando essa escrita, para todo vin V temos
T^2(v)=Tl(T(v)r)=Tl(f(v),wr)=f(v),T(w)=f(v),f(w),w
Isso mostra que
T^2 = f(w),T,
isto é, T satisfaz a equação
T^2 - f(w),T = 0

Passo 4

Da equação T(T - f(w),Id)=0 vemos que o polinômio minimal de T divide x(x - f(w)).
  • Se f(w)=0, então T^2=0 e já concluímos que T^2 é o operador nulo.
  • Se f(w)neq 0, então os fatores x e x - f(w) são distintos, de modo que o minimal decompõe-se em raízes simples; portanto T é diagonalizável.

Resposta

Mostramos que ou f(w)=0, implicando T^2=0, ou f(w)neq 0, implicando que o polinômio minimal de T tem raízes distintas de modo que T é diagonalizável.

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