Seja
um espaço vetorial de dimensão finita e seja
um operador linear de posto 1 (isto é,
. Prove que ou
é diagonalizável ou
é o operador nulo.
Passo 1
O enunciado diz que
é de dimensão finita e
é linear com
. Queremos mostrar que ou
é diagonalizável ou
. Para isso, vamos usar a ideia de escrever
como produto de um funcional linear por um vetor que gere
, depois analisar a equação polinomial que
satisfaz e tirar as deduções sobre diagonalização ou nulidade de
.
Passo 2
Como
, existe
,
, tal que
Então, para cada
, existe escalar
com
Define-se assim
. Verifica-se facilmente que
é linear, pois
e
é linear. Logo
implica
, e similarmente para escalares.
Passo 3
Usando essa escrita, para todo
temos
Isso mostra que
isto é,
satisfaz a equação
Passo 4
Da equação
vemos que o polinômio minimal de
divide
.
- Se
, então e já concluímos que é o operador nulo. - Se
, então os fatores e são distintos, de modo que o minimal decompõe-se em raízes simples; portanto é diagonalizável.
Resposta
Mostramos que ou
, implicando
, ou
, implicando que o polinômio minimal de
tem raízes distintas de modo que
é diagonalizável.