Seja
um espaço vetorial de dimensão finita e seja
um operador linear tal que
.
(i) Prove que se
é um autovalor de
, então
ou
.
(ii) Prove que se
é uma base de
e
é uma base de
, então a união
é uma base de
. Conclua que
é diagonalizável.
(i) Prove que se
(ii) Prove que se
Passo 1
O enunciado diz que
é de dimensão finita e
satisfaz
Esse tipo de operador chama-se projetor. Precisamos mostrar duas coisas:
- Se
é autovalor de , então ou . - Se
é base de e é base de , então é base de , o que implica que é diagonalizável.
Passo 2
Prova de (i): seja
tal que
. Então
Por outro lado,
. Igualando, vem
Como
, segue
ou
.
Passo 3
Mostramos que todo
se decompõe em parte em
e parte em
. De fato, escreva
Note que
, logo
, e claramente
. Assim
Passo 4
É fácil ver que
: se
, então
para algum
e
, logo
. Portanto
Da soma direta, se
é base de
e
é base de
, então
é base de
. Nessa base
age como zero em cada vetor de
e como identidade em cada vetor de
, isto é, sua matriz é diagonal com entradas apenas
e
. Logo
é diagonalizável.
Resposta
(i) Os únicos autovalores possíveis são
e
.
(ii) A união de uma base de com uma base de
forma base de
, de onde se conclui que
é diagonalizável.
(ii) A união de uma base de