Seja V um espaço vetorial de dimensão finita e seja T: V V um operador linear tal que T^2=T.
(i) Prove que se lambda é um autovalor de T, então lambda=0 ou lambda=1.
(ii) Prove que se B é uma base de Ker(T) e C é uma base de Im(T), então a união B cup C é uma base de V. Conclua que T é diagonalizável.

Passo 1

O enunciado diz que V é de dimensão finita e T:Vto V satisfaz
T^2 = T
Esse tipo de operador chama-se projetor. Precisamos mostrar duas coisas:
  1. Se lambda é autovalor de T, então lambda=0 ou lambda=1.
  2. Se B é base de ker(T) e C é base de Im(T), então Bcup C é base de V, o que implica que T é diagonalizável.

Passo 2

Prova de (i): seja vneq0 tal que T(v)=lambda v. Então
T^2(v)=Tl(T(v)r)=T(lambda v)=lambda,T(v)=lambda^2 v
Por outro lado, T^2(v)=T(v)=lambda v. Igualando, vem
lambda^2 v = lambda v Longrightarrow (lambda^2-lambda),v=0 Longrightarrow lambda(lambda-1)=0
Como vneq0, segue lambda=0 ou lambda=1.

Passo 3

Mostramos que todo vin V se decompõe em parte em ker(T) e parte em Im(T). De fato, escreva
v = l(v - T(v)r) + T(v)
Note que Tl(v-T(v)r)=T(v)-T^2(v)=T(v)-T(v)=0, logo v-T(v)inker(T), e claramente T(v)inIm(T). Assim
V = ker(T) + Im(T)

Passo 4

É fácil ver que ker(T)capIm(T)=0: se xinker(T)capIm(T), então x=T(w) para algum w e 0=T(x)=T^2(w)=T(w)=x, logo x=0. Portanto
V = ker(T)oplusIm(T)
Da soma direta, se B é base de ker(T) e C é base de Im(T), então Bcup C é base de V. Nessa base T age como zero em cada vetor de B e como identidade em cada vetor de C, isto é, sua matriz é diagonal com entradas apenas 0 e 1. Logo T é diagonalizável.

Resposta

(i) Os únicos autovalores possíveis são 0 e 1.
(ii) A união de uma base de ker(T) com uma base de Im(T) forma base de V, de onde se conclui que T é diagonalizável.

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