Seja U um espaço vetorial de dimensão 5 e seja T: U U um operador linear cujo polinômio característico é p(t)=-t(t+1)^3(t+2). Assinale a alternativa correta.
(A) dim(Ker(T)) >= 2.
(B) dim(Ker(T))=1, dim(Ker(T+2 I))=1 e dim(Ker(T+I))=3.
(C) T é sobrejetor.
(D) T não é diagonalizável, pois dim(U)=5 e p(t) possui apenas três raízes reais.
(E) T é diagonalizável se, e somente se, existem v1, v2, v3 in U, linearmente independentes, tais que T(v1)=-v1, T(v2)=-v2 e T(v3)=-v3.

Passo 1

O espaço U tem dimensão 5 e o operador linear T:Uto U tem polinômio característico
p(t)=-,t,(t+1)^3(t+2)
Isto significa que os autovalores são 0 com multiplicidade algébrica 1, -1 com multiplicidade algébrica 3 e -2 com multiplicidade algébrica 1. Vamos precisar da relação entre multiplicidade algébrica e geométrica de cada autovalor e usar isso para testar as alternativas.

Passo 2

Para cada autovalor lambda vale
1 <= diml(Ker(T-lambda I)r)<= mu<iplicidade algébrica de lambda é
Logo
  • lambda=0: alg mult =1 Rightarrow diml(Ker(T)r)=1.
  • lambda=-1: alg mult =3 Rightarrow 1<= diml(Ker(T+I)r)<=3.
  • lambda=-2: alg mult =1 Rightarrow diml(Ker(T+2I)r)=1.

Passo 3

Analisando (A): “ dim(Ker(T))>=2”.
Mas calculamos dim(Ker(T))=1.
Portanto (A) é falsa.

Passo 4

Analisando (B): afirma que
dim(Ker(T))=1, dim(Ker(T+2I))=1, dim(Ker(T+I))=3
As duas primeiras igualdades são verdadeiras, mas não há garantia de que dim(Ker(T+I)) atinja o máximo 3 sem informação extra. Logo (B) não vale em todo caso.

Passo 5

Analisando (C): “ T é sobrejetor.”
Um operador é sobrejetor se e só se 0 não for autovalor. Aqui 0 é autovalor, então T não é sobrejetor.
Logo (C) é falsa.

Passo 6

Analisando (D): “ T não é diagonalizável, pois dim(U)=5 e p(t) possui apenas três raízes reais.”
Diagonalizabilidade não depende de número de raízes reais, mas de a multiplicidade geométrica igualar a algébrica para cada autovalor. Além disso, aqui há três autovalores distintos (mesmo com multiplicidade) e eles são reais, de modo que nada impede T de ser diagonalizável. A justificativa está equivocada, então (D) é falsa.

Passo 7

Analisando (E): “ T é diagonalizável se, e somente se, existem v1,v2,v3in U linearmente independentes tais que
T(vi)=-vi, i=1,2,3
Isto diz exatamente que dim(Ker(T+I))=3. Como já sabemos que dim(Ker(T))=1 e dim(Ker(T+2I))=1 obrigatoriamente, então ter três autovetores independentes para lambda=-1 completa um total de 1+3+1=5 autovetores e garante diagonalização. E vice-versa: se T é diagonalizável precisa que cada bloco de Jordan seja de tamanho 1, forçando dim(Ker(T+I))=3. Portanto (E) é verdadeira.

Resposta

(E)

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