Seja
um espaço vetorial de dimensão 5 e seja
um operador linear cujo polinômio característico é
. Assinale a alternativa correta.
(A)
.
(B)
.
(C)
é sobrejetor.
(D)
não é diagonalizável, pois
e
possui apenas três raízes reais.
(E)
é diagonalizável se, e somente se, existem
, linearmente independentes, tais que
e
.
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Passo 1
O espaço
tem dimensão
e o operador linear
tem polinômio característico
Isto significa que os autovalores são
com multiplicidade algébrica
,
com multiplicidade algébrica
e
com multiplicidade algébrica
. Vamos precisar da relação entre multiplicidade algébrica e geométrica de cada autovalor e usar isso para testar as alternativas.
Passo 2
Para cada autovalor
vale
Logo
-
: alg mult . -
: alg mult . -
: alg mult .
Passo 3
Analisando (A): “
”.
Mas calculamos .
Portanto (A) é falsa.
Mas calculamos
Portanto (A) é falsa.
Passo 4
Analisando (B): afirma que
As duas primeiras igualdades são verdadeiras, mas não há garantia de que
atinja o máximo
sem informação extra. Logo (B) não vale em todo caso.
Passo 5
Analisando (C): “
é sobrejetor.”
Um operador é sobrejetor se e só se não for autovalor. Aqui
é autovalor, então
não é sobrejetor.
Logo (C) é falsa.
Um operador é sobrejetor se e só se
Logo (C) é falsa.
Passo 6
Analisando (D): “
não é diagonalizável, pois
e
possui apenas três raízes reais.”
Diagonalizabilidade não depende de número de raízes reais, mas de a multiplicidade geométrica igualar a algébrica para cada autovalor. Além disso, aqui há três autovalores distintos (mesmo com multiplicidade) e eles são reais, de modo que nada impede de ser diagonalizável. A justificativa está equivocada, então (D) é falsa.
Diagonalizabilidade não depende de número de raízes reais, mas de a multiplicidade geométrica igualar a algébrica para cada autovalor. Além disso, aqui há três autovalores distintos (mesmo com multiplicidade) e eles são reais, de modo que nada impede
Passo 7
Analisando (E): “
é diagonalizável se, e somente se, existem
linearmente independentes tais que
Isto diz exatamente que
. Como já sabemos que
e
obrigatoriamente, então ter três autovetores independentes para
completa um total de
autovetores e garante diagonalização. E vice-versa: se
é diagonalizável precisa que cada bloco de Jordan seja de tamanho
, forçando
. Portanto (E) é verdadeira.
Resposta
(E)