Seja T: R^4 R^4 um operador linear com polinômio característico pT(t). Verifique se T é diagonalizável em cada um dos seguintes casos:
(i) pT(t)=t^4-1
(ii) pT(t)=t^3(t+1) e dim(Ker(T))=2.
(iii) pT(t)=t^2(t^2-4) e dim(Ker(T))=2.
(iv) pT(t)=t^2(t-2)^2 e dim(Ker(T))=2.

Passo 1

O enunciado dá um operador linear T: R^4to R^4 e, em cada item, o polinômio característico pT(t) e, às vezes, a dimensão de ker(T).
Para T ser diagonalizável sobre R precisamos de duas coisas:
1. o polinômio minimal de T se fatora em fatores lineares sobre R sem fatores repetidos;
2. para cada valor próprio lambda, a multiplicidade geométrica dimker(T-lambda I) deve igualar a multiplicidade algébrica (a potência de (t-lambda) em pT(t)).

Passo 2

(i) pT(t)=t^4-1.
Esse polinômio fatora em
t^4-1=(t-1)(t+1)(t^2+1)
Como t^2+1 não se separa em raízes reais, o polinômio minimal não se fatora completamente em fatores lineares reais. Logo T não é diagonalizável sobre R.

Passo 3

(ii) pT(t)=t^3(t+1).
Os valores próprios são 0 (multiplicidade algébrica 3) e -1 (multiplicidade algébrica 1).
Dado dimker(T)=2, a multiplicidade geométrica do valor próprio 0 é 2<3. Portanto falha a condição geométrica–algébrica para lambda=0, e T não é diagonalizável.

Passo 4

(iii) pT(t)=t^2(t^2-4)=t^2(t-2)(t+2).
Valores próprios:
0, mult.\ algébrica 2, com dimker(T)=2 (dado),
2 e -2, cada um de mult.\ algébrica 1 (nesse caso a geométrica vale automaticamente 1).
Todas as multiplicidades geométricas igualam as algébricas e o polinômio minimal é
mT(t)=t(t-2)(t+2),
com raízes simples. Logo T é diagonalizável.

Passo 5

(iv) pT(t)=t^2(t-2)^2.
Valores próprios: 0 e 2, cada um de mult.\ algébrica 2.
Já sabemos dimker(T)=2, ou seja, para lambda=0 a condição geométrica–algébrica está OK.
Para lambda=2 precisamos de dimker(T-2I)=2 para que a soma das dimensões dos autovalores seja 4.
– Se dimker(T-2I)=2, então ambas as multiplicidades geométrica e algébrica coincidem e mT(t)=(t)(t-2) tem raízes simples Rightarrow T é diagonalizável.
– Se dimker(T-2I)=1, falha a igualdade geométrica–algébrica em lambda=2 Rightarrow T não é diagonalizável.

Resposta

(i) Não.
(ii) Não.
(iii) Sim.
(iv) É diagonalizável exatamente se dimker(T-2I)=2; caso contrário, não é diagonalizável.

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