Seja
um operador linear com polinômio característico
. Verifique se
é diagonalizável em cada um dos seguintes casos:
(i)
(ii)
e
.
(iii)
e
.
(iv)
e
.
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
Passo 1
O enunciado dá um operador linear
e, em cada item, o polinômio característico
e, às vezes, a dimensão de
.
Para ser diagonalizável sobre
precisamos de duas coisas:
. o polinômio minimal de
se fatora em fatores lineares sobre
sem fatores repetidos;
. para cada valor próprio
, a multiplicidade geométrica
deve igualar a multiplicidade algébrica (a potência de
em
).
Para
Passo 2
(i)
.
Esse polinômio fatora em
Esse polinômio fatora em
Como
não se separa em raízes reais, o polinômio minimal não se fatora completamente em fatores lineares reais. Logo
não é diagonalizável sobre
.
Passo 3
(ii)
.
Os valores próprios são (multiplicidade algébrica
) e
(multiplicidade algébrica
).
Dado , a multiplicidade geométrica do valor próprio
é
. Portanto falha a condição geométrica–algébrica para
, e
não é diagonalizável.
Os valores próprios são
Dado
Passo 4
(iii)
.
Valores próprios:
– , mult.\ algébrica
, com
(dado),
– e
, cada um de mult.\ algébrica
(nesse caso a geométrica vale automaticamente
).
Todas as multiplicidades geométricas igualam as algébricas e o polinômio minimal é
Valores próprios:
–
–
Todas as multiplicidades geométricas igualam as algébricas e o polinômio minimal é
com raízes simples. Logo
é diagonalizável.
Passo 5
(iv)
.
Valores próprios: e
, cada um de mult.\ algébrica
.
Já sabemos , ou seja, para
a condição geométrica–algébrica está OK.
Para precisamos de
para que a soma das dimensões dos autovalores seja
.
– Se , então ambas as multiplicidades geométrica e algébrica coincidem e
tem raízes simples
é diagonalizável.
– Se , falha a igualdade geométrica–algébrica em
não é diagonalizável.
Valores próprios:
Já sabemos
Para
– Se
– Se
Resposta
(i) Não.
(ii) Não.
(iii) Sim.
(iv) É diagonalizável exatamente se ; caso contrário, não é diagonalizável.
(ii) Não.
(iii) Sim.
(iv) É diagonalizável exatamente se