Seja um espaço vetorial de dimensão 3 seja um operador linear e seja uma base de tal que , onde a, b, c in R. Assinale a alternativa correta.
(A) Se b neq a=0, então T não é diagonalizável.
(B) Se |b| neq 2|a| e a neq 0, então T é diagonalizável.
(C) Se a neq 0 e b=2 a=c, então T é diagonalizável.
(D) Se a=b=0 e c neq 0, então T é diagonalizável.
(E) Se c=0 e b=-2 a neq 0, então T não é diagonalizável.
Passo 1
O enunciado dá um espaço vetorial V de dimensão 3 e um operador linear T:Vto V cuja matriz na base B é
[T]B = -a & 0 & -a 0 & b & 0 -3a & c & a ,
com a,b,cinR. Queremos ver, dentre as alternativas dadas, qual condição garante que T seja (ou não seja) diagonalizável.
Passo 2
Vamos achar o polinômio característico de . Calculamos
Logo os autovalores são
Passo 3
Sabemos que um operador de dimensão 3 é diagonalizável se existir um total de 3 autovetores linearmente independentes. Um caso imediato é quando os três autovalores são distintos, pois então as multiplicidades algébrica e geométrica coincidem em 1 para cada autovalor.
Passo 4
Para que b, 2a e -2a sejam todos distintos é necessário
aneq 0 e bneq 2a,;bneq -2a,
ou seja exatamente lvert brvertneq 2lvert arvert e aneq0. Nesse caso temos três autovalores distintos e, portanto, T é diagonalizável. Isso coincide com a alternativa (B).
Resposta
(B) Se lvert brvertneq 2lvert arvert e aneq0, então T é diagonalizável.