Verifique se cada uma das matrizes abaixo é ou não diagonalizável. Quando for diagonalizável, determine uma matriz invertível M tal que M^-1 A M seja uma matriz diagonal.
(i) [cccc1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 1 & 1 & 3 & 0 -2 & 1 & 2 & -1]
(ii) [cccc3 & 1 & 0 & 0 -1 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 4 0 & 0 & 1 & 1]
(iii) [ccc1 & 2 & 0 -1 & -1 & 1 0 & 1 & 1]
(iv) [lll1 & 0 & 1 0 & 1 & 1 1 & 1 & 0]

Passo 1

O enunciado pede para cada matriz A (i–iv):
1. verificar se A é diagonalizável, isto é, se há uma base de Bbb R^n (ou Bbb C^n) formada por vetores próprios de A;
2. quando for diagonalizável, encontrar uma matriz invertível M cujas colunas sejam vetores próprios de A, de modo que
M^-1AM=D
seja diagonal.

Passo 2

Para a matriz (i)
note que ela é em bloco triangular da forma . O polinômio característico é
logo os autovalores são

Passo 3

Calculamos agora as dimensões dos autespaços:
  • Para lambda=1, resolvemos (A-I)x=0 e obtemos um espaço de soluções de dimensão 2.
  • Para lambda=3, (A-3I)x=0 tem dimensão 1.
  • Para lambda=-1, (A+I)x=0 tem dimensão 1.
Como a soma das dimensões geométricas (2+1+1)=4 iguala a ordem da matriz, A é diagonalizável.

Passo 4

Escolhendo vetores próprios:
  • Para lambda=1, dois vetores independentes são
v1 = -110tfrac32, v2 = -2013
  • Para lambda=3, um vetor próprio é
v3 = 0021
  • Para lambda=-1, um vetor próprio é
v4 = 0001
Tomando M com estas colunas, temos
M = -1 & -2 & 0 & 0 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 2 & 0 tfrac32 & 3 & 1 & 1 ,
e então M^-1AM=diag(1,1,3,-1).

Passo 5

Para a matriz (ii)
A= 3 & 1 & 0 & 0 -1 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 4 0 & 0 & 1 & 1 ,
os dois blocos 2times2 têm polinômios característicos
(lambda-2)^2 e (lambda-3)(lambda+1)
No primeiro bloco o autovalor 2 tem multiplicidade algébrica 2 mas espaço próprio de dimensão 1. Logo não é diagonalizável.

Passo 6

Para a matriz (iii)
A= 1 & 2 & 0 -1 & -1 & 1 0 & 1 & 1
o polinômio característico é
lambda^2(1-lambda),
ou seja, lambda=0 (mult. alg. 2) e lambda=1. Mas o espaço próprio para lambda=0 tem dimensão 1, logo A não é diagonalizável.

Passo 7

Para a matriz (iv)
A= 1 & 0 & 1 0 & 1 & 1 1 & 1 & 0 ,
o polinômio característico se fatorou como
(1-lambda)(lambda-2)(lambda+1),
três raízes distintas lambda=1,2,-1. Isso garante diagonalização. Vetores próprios escolhidos são:
lambda=1:,v1=-110, lambda=2:,v2=111, lambda=-1:,v3=11-2
Tomando
M= -1 & 1 & 1 1 & 1 & 1 0 & 1 & -2 ,
vem M^-1AM=diag(1,2,-1).

Resposta

(i) É diagonalizável. Uma matriz de passagem é
M= -1 & -2 & 0 & 0 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 2 & 0 tfrac32 & 3 & 1 & 1 ,
com M^-1AM=diag(1,1,3,-1).
(ii) Não é diagonalizável.
(iii) Não é diagonalizável.
(iv) É diagonalizável com
M= -1 & 1 & 1 1 & 1 & 1 0 & 1 & -2 ,
de modo que M^-1AM=diag(1,2,-1).

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