Verifique se cada uma das matrizes abaixo é ou não diagonalizável. Quando for diagonalizável, determine uma matriz invertível tal que seja uma matriz diagonal.
(i)
(ii) [cccc3 & 1 & 0 & 0 -1 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 4 0 & 0 & 1 & 1]
(iii) [ccc1 & 2 & 0 -1 & -1 & 1 0 & 1 & 1]
(iv) [lll1 & 0 & 1 0 & 1 & 1 1 & 1 & 0]
Passo 1
O enunciado pede para cada matriz A (i–iv): 1. verificar se A é diagonalizável, isto é, se há uma base de Bbb R^n (ou Bbb C^n) formada por vetores próprios de A; 2. quando for diagonalizável, encontrar uma matriz invertível M cujas colunas sejam vetores próprios de A, de modo que
M^-1AM=D
seja diagonal.
Passo 2
Para a matriz (i)
note que ela é em bloco triangular da forma . O polinômio característico é
logo os autovalores são
Passo 3
Calculamos agora as dimensões dos autespaços:
Para lambda=1, resolvemos (A-I)x=0 e obtemos um espaço de soluções de dimensão 2.
Para lambda=3, (A-3I)x=0 tem dimensão 1.
Para lambda=-1, (A+I)x=0 tem dimensão 1.
Como a soma das dimensões geométricas (2+1+1)=4 iguala a ordem da matriz, A é diagonalizável.