Seja T: R^3 R^3 o operador linear cuja matriz em relação às bases B=(1,1,0),(1,0,0),(0,1,1) e C=(0,1,0),(1,1,0),(1,0,1) é dada por [ccc0 & -3 & 2 -1 & 1 & -1 0 & 0 & -1].
(i) Encontre os autovalores e autovetores de T.
(ii) É T diagonalizável?

Passo 1

O enunciado dá a matriz de T em bases diferentes B (domínio) e C (contradomínio). Para achar autovalores e autovetores precisamos da matriz de T na base canônica. O plano é: (i) construir as matrizes de mudança de base PB e PC, (ii) calcular
A ;=; PC,M,PB^-1,
(iii) resolver det(A-lambda I)=0 e depois (A-lambda I)x=0, (iv) checar se a soma das dimensões das autoespaços é 3 para decidir diagonalizabilidade.

Passo 2

As colunas de PB são os vetores de B=(1,1,0),(1,0,0),(0,1,1) e as de PC são os de C=(0,1,0),(1,1,0),(1,0,1). Logo,
PB = 1 & 1 & 0 1 & 0 & 1 0 & 0 & 1 PC = 0 & 1 & 1 1 & 1 & 0 0 & 0 & 1
Invertendo PB por escalonamento, encontra-se
PB^-1 = 0 & 1 & -1 1 & -1 & 1 0 & 0 & 1
e assim a matriz de T na base canônica é
A ;=; PC,0 & -3 & 2-1 & 1 & -10 & 0 & -1PB^-1 = 1 & -2 & 0 -2 & 1 & 0 0 & 0 & -1

Passo 3

Calculamos o polinômio característico:
Daí
de onde . Um autovetor é .
Para ,
que dá livre. Uma base do autoespaço é .

Passo 4

A multiplicidade algébrica de lambda=3 é 1 e a do lambda=-1 é 2. Os respectivos espaços próprios têm dimensões 1 e 2. Como a soma das dimensões é 3, T é diagonalizável.

Resposta

(i) Autovalores: lambda1=3, lambda2,3=-1.
Autovetores em base canônica:
– Para lambda=3: múltiplo de (1,-1,0).
– Para lambda=-1: combinação de (1,1,0) e (0,0,1).
(ii) Sim, T é diagonalizável.

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