Seja o operador linear cuja matriz em relação às bases e é dada por .
(i) Encontre os autovalores e autovetores de T.
(ii) É T diagonalizável?
Passo 1
O enunciado dá a matriz de T em bases diferentes B (domínio) e C (contradomínio). Para achar autovalores e autovetores precisamos da matriz de T na base canônica. O plano é: (i) construir as matrizes de mudança de base PB e PC, (ii) calcular
A ;=; PC,M,PB^-1,
(iii) resolver det(A-lambda I)=0 e depois (A-lambda I)x=0, (iv) checar se a soma das dimensões das autoespaços é 3 para decidir diagonalizabilidade.
Passo 2
As colunas de PB são os vetores de B=(1,1,0),(1,0,0),(0,1,1) e as de PC são os de C=(0,1,0),(1,1,0),(1,0,1). Logo,
A multiplicidade algébrica de lambda=3 é 1 e a do lambda=-1 é 2. Os respectivos espaços próprios têm dimensões 1 e 2. Como a soma das dimensões é 3, T é diagonalizável.
Resposta
(i) Autovalores: lambda1=3, lambda2,3=-1.
Autovetores em base canônica:
– Para lambda=3: múltiplo de (1,-1,0).
– Para lambda=-1: combinação de (1,1,0) e (0,0,1).