Sejam alpha in R e v in R^2. Prove que alphav=0 Rightarrow alpha=0 ou v=0

Passo 1

O enunciado quer que a gente mostre, em R^2, que se um escalar alpha vezes um vetor vec v resultar no vetor nulo, isto é,
alpha,vec v = vec 0,
então necessariamente ou alpha = 0 ou vec v = vec 0.
O que vamos usar é a propriedade de que R é um corpo: todo número real não nulo tem inverso multiplicativo.

Passo 2

Primeiro, note que se alpha = 0, então
alpha,vec v = 0cdot vec v = vec 0,
e a condição alphavec v=vec0 já está satisfeita. Logo, nesse caso a conclusão “ alpha=0 ou vec v=vec0” é verdadeira graças à alternativa alpha=0.

Passo 3

Agora, suponha que alpha neq 0. Como R é um corpo, existe o inverso alpha^-1 tal que alpha^-1alpha = 1. Multiplicando ambos os lados da equação alpha,vec v = vec 0 por alpha^-1, obtemos
alpha^-1(alpha,vec v) = alpha^-1,vec 0 Rightarrow (alpha^-1alpha),vec v = vec 0 Rightarrow 1cdot vec v = vec 0 Rightarrow vec v = vec 0
Assim, quando alphaneq0 fica forçado que vec v=vec0.

Resposta

Logo, a partir de alpha,vec v=vec0 concluímos que ou alpha=0 ou vec v=vec0, como queríamos.

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