Sejam
e
. Prove que
ou
Passo 1
O enunciado quer que a gente mostre, em
, que se um escalar
vezes um vetor
resultar no vetor nulo, isto é,
então necessariamente ou
ou
.
O que vamos usar é a propriedade de que é um corpo: todo número real não nulo tem inverso multiplicativo.
O que vamos usar é a propriedade de que
Passo 2
Primeiro, note que se
, então
e a condição
já está satisfeita. Logo, nesse caso a conclusão “
ou
” é verdadeira graças à alternativa
.
Passo 3
Agora, suponha que
. Como
é um corpo, existe o inverso
tal que
. Multiplicando ambos os lados da equação
por
, obtemos
Assim, quando
fica forçado que
.
Resposta
Logo, a partir de
concluímos que ou
ou
, como queríamos.