Seja V subset R^3 o subespaço gerado pelos vetores (1,-2,1) ;(-1,2,2) e (-1,2,8). Calcule dim V.

Passo 1

O enunciado pede a dimensão de um subespaço V subset R^3 gerado pelos vetores (1,-2,1), (-1,2,2) e (-1,2,8). O conteúdo envolve noção de subespaço gerado (span) e cálculo de posto de matriz para determinar quantos vetores são linearmente independentes.

Passo 2

Para descobrir a independência linear, montamos a matriz cujas linhas são esses vetores e calculamos o posto. Assim, consideramos
A = 1 & -2 & 1 -1 & 2 & 2 -1 & 2 & 8

Passo 3

Aplicamos eliminação de Gauss somando a primeira linha à segunda e à terceira para anular o primeiro elemento delas:
1 & -2 & 1 -1 & 2 & 2 -1 & 2 & 8 ;xrightarrowL2 to L2 + L1,;L3 to L3 + L1; 1 & -2 & 1 0 & 0 & 3 0 & 0 & 9
Aqui vemos que a segunda e a terceira linhas são proporcionais, restando apenas duas linhas não nulas e independentes.

Passo 4

O posto da matriz A é 2. Isso significa que há exatamente dois vetores linearmente independentes no conjunto gerador de V. Pela definição de dimensão de subespaço, temos
dim V = posto(A) = 2

Resposta

dim V = 2

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