Seja Mn, n(R) o espaço vetorial das matrizes n times n. Para cada dos seguintes subconjuntos W de Mn, n(R), decida se W é subespaço ou não. Se sim, confirme que as propriedades de subespaço estão satisfeitas e se não, encontre um exemplo explícito em M2,2(R) que mostra que não é.
O conjunto das matrizes diagonais,

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
W = Ain Mn,n(R) mid A é diagonal é
é um subespaço de Mn,n(R). Para isso, vamos checar as três propriedades: (i) 0in W, (ii) fechamento sob soma e (iii) fechamento sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos que a matriz nula
0 = 0 & 0 & cdots & 0 0 & 0 & cdots & 0 vdots & vdots & ddots & vdots 0 & 0 & cdots & 0
é uma matriz diagonal (todos os elementos fora da diagonal principal são zero). Logo, 0in W.

Passo 3

Sejam A,Bin W. Escrevendo
A=diag(a1,a2,dots,an), B=diag(b1,b2,dots,bn),
a soma é
A+B=diag(a1+b1,,a2+b2,dots,an+bn),
que é novamente diagonal. Portanto, A+Bin W.

Passo 4

Seja lambdainR e A=diag(a1,dots,an)in W. Então
lambda A = diag(lambda a1,dots,lambda an)
é diagonal, ou seja, lambda Ain W.

Resposta

W é um subespaço de Mn,n(R).

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