Seja
o espaço vetorial das matrizes
. Para cada dos seguintes subconjuntos
de
, decida se
é subespaço ou não. Se sim, confirme que as propriedades de subespaço estão satisfeitas e se não, encontre um exemplo explícito em
que mostra que não é.
O conjunto das matrizes triangulares ou para cima ou para baixo
O conjunto das matrizes triangulares ou para cima ou para baixo
Passo 1
O enunciado define
como o conjunto das matrizes que são triangulares superiores ou triangulares inferiores. Queremos saber se
é subespaço vetorial de
. Para isso usamos o teste de subespaço:
. O vetor zero está em
?
.
é fechado sob soma?
.
é fechado sob multiplicação por escalar?
Passo 2
Note que o conjunto das matrizes triangulares superiores é subespaço, e o das triangulares inferiores também é subespaço. Porém, a união de dois subespaços só é subespaço se um deles contiver o outro. Aqui nenhuma das famílias de matrizes triangulares está contida na outra, então suspeitamos que
falhe em alguma das propriedades, tipicamente no fechamento sob soma.
Passo 3
Basta dar um contraexemplo em
. Tomemos
que é triangular superior, e
que é triangular inferior. Então
Essa soma não é triangular superior (pois o elemento na posição
é
) nem triangular inferior (pois o elemento na posição
é
). Logo
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