Seja Mn, n(R) o espaço vetorial das matrizes n times n. Para cada dos seguintes subconjuntos W de Mn, n(R), decida se W é subespaço ou não. Se sim, confirme que as propriedades de subespaço estão satisfeitas e se não, encontre um exemplo explícito em M2,2(R) que mostra que não é.
O conjunto das matrizes triangulares ou para cima ou para baixo

Passo 1

O enunciado define
Wsubset Mn,n(R) como o conjunto das matrizes que são triangulares superiores ou triangulares inferiores. Queremos saber se W é subespaço vetorial de Mn,n(R). Para isso usamos o teste de subespaço:
1. O vetor zero está em W?
2. W é fechado sob soma?
3. W é fechado sob multiplicação por escalar?

Passo 2

Note que o conjunto das matrizes triangulares superiores é subespaço, e o das triangulares inferiores também é subespaço. Porém, a união de dois subespaços só é subespaço se um deles contiver o outro. Aqui nenhuma das famílias de matrizes triangulares está contida na outra, então suspeitamos que W falhe em alguma das propriedades, tipicamente no fechamento sob soma.

Passo 3

Basta dar um contraexemplo em M2,2(R). Tomemos
A = 1 & 1[6pt]0 & 0,
que é triangular superior, e
B = 0 & 0[6pt]1 & 1,
que é triangular inferior. Então
A + B = 1 & 1[6pt]1 & 1
Essa soma não é triangular superior (pois o elemento na posição (2,1) é 1neq0) nem triangular inferior (pois o elemento na posição (1,2) é 1neq0). Logo A+Bnotin W.]

Resposta

W não é subespaço, pois não é fechado sob adição.

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