Seja Mn, n(R) o espaço vetorial das matrizes n times n. Para cada dos seguintes subconjuntos W de Mn, n(R), decida se W é subespaço ou não. Se sim, confirme que as propriedades de subespaço estão satisfeitas e se não, encontre um exemplo explícito em M2,2(R) que mostra que não é.
O conjunto das matrizes com determinante 1

Passo 1

O enunciado define
W = A in Mn,n(R) mid det(A) = 1
e pede para decidir se W é subespaço de Mn,n(R).
Para isso lembramos que um subespaço deve satisfazer:
1. conter a matriz zero;
2. ser fechado sob soma;
3. ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos o item 1: a matriz zero em Mn,n(R) é
0 = 0 & cdots & 0 vdots & ddots & vdots 0 & cdots & 0 ,
e
det(0)=0neq1
Logo 0notin W, o que já impede W de ser subespaço.

Passo 3

Para ver também a falha na clausura sob soma, escolhemos em M2,2(R):
A = 1 & 0[6pt]0 & 1, B = -1 & 0[6pt]0 & -1
Temos det(A)=1 e det(B)=1, mas
A + B = 0 & 0[6pt]0 & 0,
cujo determinante é 0neq1. Portanto A+Bnotin W, falhando a clausura.]

Resposta

O conjunto das matrizes com determinante 1 não é subespaço de Mn,n(R).

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