Seja o espaço vetorial das matrizes . Para cada dos seguintes subconjuntos de , decida se é subespaço ou não. Se sim, confirme que as propriedades de subespaço estão satisfeitas e se não, encontre um exemplo explícito em que mostra que não é.
O conjunto das matrizes com determinante 1
Passo 1
O enunciado define
e pede para decidir se é subespaço de .
Para isso lembramos que um subespaço deve satisfazer: . conter a matriz zero; . ser fechado sob soma; . ser fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos o item : a matriz zero em é
e
det(0)=0neq1
Logo 0notin W, o que já impede W de ser subespaço.
Passo 3
Para ver também a falha na clausura sob soma, escolhemos em M2,2(R):
A = 1 & 0[6pt]0 & 1, B = -1 & 0[6pt]0 & -1
Temos det(A)=1 e det(B)=1, mas
A + B = 0 & 0[6pt]0 & 0,
cujo determinante é 0neq1. Portanto A+Bnotin W, falhando a clausura.]
Resposta
O conjunto das matrizes com determinante 1 não é subespaço de Mn,n(R).