1. Se os vetores v1, v2, ldots, vn são L.I., mostre que os vetores v1, v2-v1, ldots, vn-v1 também são L.I. Vale a recíproca?

Passo 1

O enunciado diz que temos vetores v1,v2,dots,vn que são linearmente independentes e define o novo conjunto
w1 = v1, wi = vi - v1 (i=2,dots,n)
O conteúdo aqui é teste de independência linear: um conjunto de vetores é L.I. se a única combinação linear que dá zero é a trivial (todos coeficientes nulos). Vamos mostrar primeiro que de vi L.I. segue wi L.I., e depois a recíproca.

Passo 2

Suponha que v1,dots,vn seja L.I. e considere uma combinação linear dos wi que dá zero:
a1 w1 + a2 w2 + cdots + an wn = 0
Substituindo w1=v1 e wi = vi - v1 para i>=2, temos
a1 v1 + sumi=2^n ai,(vi - v1) = 0 Longrightarrow a1 v1 + sumi=2^n ai vi ;-;l(sumi=2^n air)v1 = 0
Reagrupando os termos de v1 e vi ( i>=2), fica
l(a1 - sumi=2^n air)v1 ;+;sumi=2^n ai,vi ;=;0
Como v1,dots,vn é L.I., cada coeficiente deve ser zero:
ai = 0(i=2,dots,n), a1 - sumi=2^n ai = a1 = 0
Logo todos os ai são zero e wi é L.I.

Passo 3

Agora suponha que w1,dots,wn seja L.I. e faça uma combinação linear dos vi que dê zero:
b1 v1 + b2 v2 + cdots + bn vn = 0
Expressamos cada vi em termos de wj:
v1 = w1, vi = wi + w1(i=2,dots,n)
Substituindo, obtemos
b1 w1 + sumi=2^n bi,(wi + w1) = 0 ;Longrightarrow; l(b1 + sumi=2^n bir)w1 +sumi=2^n bi,wi =0
Como wi é L.I., todos os coeficientes devem ser zero:
bi = 0(i=2,dots,n), b1 + sumi=2^n bi = b1 = 0
Isso mostra que vi também é L.I.

Passo 4

Concluímos que
v1,dots,vn é LI Long<=ftrightarrow v1,,v2-v1,dots,vn-v1 é LI éé

Resposta

Sim. O conjunto v1,v2-v1,dots,vn-v1 é L.I. sempre que v1,dots,vn for, e vice-versa.

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