- Se os vetores
são L.I., mostre que os vetores
também são L.I. Vale a recíproca?
Passo 1
O enunciado diz que temos vetores
que são linearmente independentes e define o novo conjunto
O conteúdo aqui é teste de independência linear: um conjunto de vetores é L.I. se a única combinação linear que dá zero é a trivial (todos coeficientes nulos). Vamos mostrar primeiro que de
L.I. segue
L.I., e depois a recíproca.
Passo 2
Suponha que
seja L.I. e considere uma combinação linear dos
que dá zero:
Substituindo
e
para
, temos
Reagrupando os termos de
e
(
), fica
Como
é L.I., cada coeficiente deve ser zero:
Logo todos os
são zero e
é L.I.
Passo 3
Agora suponha que
seja L.I. e faça uma combinação linear dos
que dê zero:
Expressamos cada
em termos de
:
Substituindo, obtemos
Como
é L.I., todos os coeficientes devem ser zero:
Isso mostra que
também é L.I.
Passo 4
Concluímos que
Resposta
Sim. O conjunto
é L.I. sempre que
for, e vice-versa.