Seja F o subespaço do R^4 gerado pelos vetores:
v1=(1,1,1,1), v2=(1,2,3,2), v3=(2,5,6,4), v4=(2,6,8,5).
a) Os vetores dados são LI?
b) Qual é a dimensão de F ?
c) Determine uma base de F.
d) Escreva w=(3,2,-1,1) na base escolhida.

Passo 1

O enunciado define o subespaço FsubsetR^4 gerado pelos vetores
v1=(1,1,1,1), v2=(1,2,3,2), v3=(2,5,6,4), v4=(2,6,8,5),
e pede:
a) verificar se esses vetores são linearmente independentes;
b) encontrar dim(F);
c) determinar uma base de F;
d) escrever w=(3,2,-1,1) na base escolhida.
Para isso vamos usar eliminação de Gauss para descobrir a independência, a dimensão e a base, e depois resolver um sistema linear para as coordenadas de w.

Passo 2

Montamos a matriz cujas colunas são v1,v2,v3,v4 e aplicamos eliminação de Gauss:
A= 1 & 1 & 2 & 2 1 & 2 & 5 & 6 1 & 3 & 6 & 8 1 & 2 & 4 & 5 longrightarrow 1 & 1 & 2 & 2 0 & 1 & 3 & 4 0 & 0 & -2 & -2 0 & 0 & 0 & 0
Da forma escalonada vemos pivôs nas colunas 1, 2 e 3, e nenhuma na coluna 4.

Passo 3

Como há pivôs em três colunas, . Logo:
  • Os quatro vetores são linearmente dependentes (há mais vetores que pivôs).
  • A dimensão de é .
  • Uma base natural de é dada pelos vetores que correspondem às colunas-pivô:

Passo 4

Para escrever
Isso gera o sistema
Subtraindo a primeira equação das demais obtemos
Dessas, ao subtrair a segunda da terceira vem e finalmente .

Resposta

a) Os vetores são linearmente dependentes.
b) dim(F)=3.
c) Uma base de F é v1,v2,v3.
d) Na base escolhida,
w = 5,v1 ;-;4,v2 ;+;1,v3,
ou seja, as coordenadas de w são (5,-4,1).

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