Seja o subespaço do gerado pelos vetores: , .
a) Os vetores dados são LI?
b) Qual é a dimensão de ?
c) Determine uma base de .
d) Escreva na base escolhida.
Passo 1
O enunciado define o subespaço gerado pelos vetores
e pede:
a) verificar se esses vetores são linearmente independentes;
b) encontrar ;
c) determinar uma base de ;
d) escrever na base escolhida.
Para isso vamos usar eliminação de Gauss para descobrir a independência, a dimensão e a base, e depois resolver um sistema linear para as coordenadas de .
Passo 2
Montamos a matriz cujas colunas são e aplicamos eliminação de Gauss:
Da forma escalonada vemos pivôs nas colunas 1, 2 e 3, e nenhuma na coluna 4.
Passo 3
Como há pivôs em três colunas, . Logo:
Os quatro vetores são linearmente dependentes (há mais vetores que pivôs).
A dimensão de é .
Uma base natural de é dada pelos vetores que correspondem às colunas-pivô:
Passo 4
Para escrever
Isso gera o sistema
Subtraindo a primeira equação das demais obtemos
Dessas, ao subtrair a segunda da terceira vem e finalmente .
Resposta
a) Os vetores são linearmente dependentes.
b) dim(F)=3.
c) Uma base de F é v1,v2,v3.
d) Na base escolhida,