Seja V=R^3 o espaço vetorial com as operações usuais e U=(x, y, 0) in R^3: x, y in R , W=(0,0, z) in R^3: z in R, T=(0, w, z) in R^3: w, z in R subespaços de V=R^3 :
V=R^3=U oplus T ?

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial V= R^3 e os subespaços
U=(x,y,0)colon x,yin R e T=(0,w,z)colon w,zin R.
Pergunta-se se V= Uoplus T. Para isso precisamos verificar duas condições:
  1. U+ T= V.
  2. Ucap T=(0,0,0).

Passo 2

Para descrever U+ T, tomemos
u=(x1,y1,0)in U, t=(0,w,z)in T
Então
u+t=(x1,y1,0)+(0,w,z)=(x1,;y1+w,;z)

Passo 3

Dado um vetor arbitrário (a,b,c)in R^3, podemos escrevê-lo como soma de uin U e tin T escolhendo, por exemplo,
x1=a, z=c, y1=0, w=b
Assim (a,b,c)=(a,0,0)+(0,b,c)in U+ T, o que mostra U+ T= V.

Passo 4

Agora calculamos a interseção: um vetor (x,y,0)in U está em T se e só se sua primeira coordenada for zero e sua terceira for zero. Logo
Ucap T =(0,y,0)colon yin R neq(0,0,0)

Passo 5

Como Ucap T não é apenas o vetor zero, a soma não é direta. Portanto não vale V= Uoplus T.

Resposta

Não, pois Ucap T=(0,y,0)colon yin Rneq(0,0,0), logo a soma não é direta.

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