Sejam
B=(1,0),(0,1), B1=(-1,1),(1,1), B2=(raiz3, 1),(raiz3,-1) e B3=(2,0),(0,2) bases ordenadas do R^2.
As coordenadas de um vetor v em relação a base B1 são dadas por
[v]B1=[l 4 0 ]
Quais são as coordenadas de v em relação à base:
B3

Passo 1

Vamos resolver um exercício de mudança de base em R^2. Temos diferentes bases ordenadas e precisamos encontrar as coordenadas de um vetor v em relação à base B3. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como representação de vetores em diferentes bases e transformação de coordenadas.

Passo 2

Primeiro, entendamos o que significa ter as coordenadas de v em relação à base B1. As coordenadas dadas são:
[v]B1 = 4 0
Isso significa que o vetor v pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base B1 multiplicados por esses coeficientes.

Passo 3

A base B1 é composta pelos vetores (-1,1) e (1,1). Então, podemos expressar v da seguinte maneira:
v = 4 cdot (-1, 1) + 0 cdot (1, 1)
Simplificando essa expressão, temos:
v = (-4, 4)

Passo 4

Agora, precisamos encontrar as coordenadas de v em relação à base B3, que é composta pelos vetores (2,0) e (0,2). Vamos chamar as coordenadas procuradas de [v]B3 = c1 c2 .

Passo 5

A representação de v na base B3 será:
v = c1 cdot (2, 0) + c2 cdot (0, 2)
Isso nos dá as seguintes equações para cada componente:
-4 = 2c1 4 = 2c2

Passo 6

Resolvendo as equações:
Para a primeira componente:
2c1 = -4 c1 = -42 c1 = -2
Para a segunda componente:
2c2 = 4 c2 = 42 c2 = 2

Resposta

As coordenadas de v em relação à base B3 são:
[v]B3 = -2 2

Exercícios relacionados