Sejam e bases ordenadas do .
As coordenadas de um vetor em relação a base são dadas por
Quais são as coordenadas de v em relação à base:
B3
Passo 1
Vamos resolver um exercício de mudança de base em R^2. Temos diferentes bases ordenadas e precisamos encontrar as coordenadas de um vetor v em relação à base B3. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como representação de vetores em diferentes bases e transformação de coordenadas.
Passo 2
Primeiro, entendamos o que significa ter as coordenadas de v em relação à base B1. As coordenadas dadas são:
[v]B1 = 4 0
Isso significa que o vetor v pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base B1 multiplicados por esses coeficientes.
Passo 3
A base B1 é composta pelos vetores (-1,1) e (1,1). Então, podemos expressar v da seguinte maneira:
v = 4 cdot (-1, 1) + 0 cdot (1, 1)
Simplificando essa expressão, temos:
v = (-4, 4)
Passo 4
Agora, precisamos encontrar as coordenadas de v em relação à base B3, que é composta pelos vetores (2,0) e (0,2). Vamos chamar as coordenadas procuradas de [v]B3 = c1 c2 .
Passo 5
A representação de v na base B3 será:
v = c1 cdot (2, 0) + c2 cdot (0, 2)
Isso nos dá as seguintes equações para cada componente:
-4 = 2c1 4 = 2c2
Passo 6
Resolvendo as equações:
Para a primeira componente: