Seja V=R^3 o espaço vetorial com as operações usuais. O vetor v=(7,8,9) in V=R^3 pode ser escrito como combinação linear dos v1=(2,1,4), v2=(1,-1,3) e v3=(3,2,5) ?

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o vetor v=(7,8,9) pode ser escrito como combinação linear dos vetores
v1=(2,1,4), v2=(1,-1,3), v3=(3,2,5)
em R^3. Para isso, vamos procurar escalares alpha,beta,gamma tais que
alpha,v1+beta,v2+gamma,v3 = v

Passo 2

Escrevendo componente a componente, obtemos o sistema
2alpha + beta + 3gamma = 7, alpha - beta + 2gamma = 8, 4alpha + 3beta + 5gamma = 9

Passo 3

Da segunda equação isolamos beta:
alpha - beta + 2gamma = 8 Longrightarrow beta = alpha + 2gamma - 8
Substituindo em
2alpha + beta + 3gamma = 7
vem
2alpha + (alpha + 2gamma - 8) + 3gamma = 7 Longrightarrow 3alpha + 5gamma = 15 Longrightarrow alpha = 5 - tfrac53gamma

Passo 4

Com alpha=5-tfrac53gamma e beta=alpha+2gamma-8 na terceira equação
4alpha + 3beta +5gamma = 9
surge
-tfrac23,gamma = -2 Longrightarrow gamma = 3,
e daí
alpha = 5 - tfrac53cdot 3 = 0, beta = 0 + 2cdot3 - 8 = -2

Resposta

Sim. Tem-se
(7,8,9) = 0cdot(2,1,4);+;(-2)cdot(1,-1,3);+;3cdot(3,2,5)

Exercícios relacionados