Seja o espaço vetorial V de polinômios com produto interno definido por lang<= f, grang<==integral0^1 f(t) g(t) d t e os polinômios f(t)=t+2, g(t)=3 t-2, e h(t)=t^2-2 t-3. Determine:
a) lang<= f, grang<=
b) lang<= f, hrang<=
c) |f|
d) |g|
e) Normalize f e g.

Passo 1

O enunciado define o espaço V dos polinômios com produto interno
lang<= f,grang<==integral0^1f(t),g(t),dt
e dá
f(t)=t+2, g(t)=3t-2, h(t)=t^2-2t-3
Pede-se:
a) lang<= f,grang<=
b) lang<= f,hrang<=
c) |f|
d) |g|
e) normalizar f e g.

Passo 2

Calculamos
lang<= f,grang<==integral0^1(t+2)(3t-2),dt =integral0^1l(3t^2+4t-4r),dt
Integrando:
integral0^13t^2,dt= t^3|0^1=1, integral0^14t,dt=2, integral0^1(-4),dt=-4
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lang<= f,grang<==1+2-4=-1

Passo 3

Calculamos
lang<= f,hrang<= =integral0^1(t+2)(t^2-2t-3),dt =integral0^1l(t^3-7t-6r),dt
Integrando:
integral0^1t^3,dt=tfrac14, integral0^1(-7t),dt=-tfrac72, integral0^1(-6),dt=-6
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lang<= f,hrang<= =tfrac14-tfrac72-6 =-tfrac374

Passo 4

Para |f| precisamos de lang<= f,frang<=:
lang<= f,frang<= =integral0^1(t+2)^2,dt =integral0^1(t^2+4t+4),dt =l[tfract^33+2t^2+4tr]0^1 =tfrac13+2+4 =tfrac193
Portanto
|f|=raiztfrac193

Passo 5

Para |g| usamos lang<= g,grang<=:
lang<= g,grang<= =integral0^1(3t-2)^2,dt =integral0^1(9t^2-12t+4),dt =l[3t^3-6t^2+4tr]0^1 =3-6+4=1
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|g|=1

Passo 6

Normalizar significa dividir cada polinômio pela sua norma. Assim
tilde f(t)=f(t)|f| =t+2raiz19/3 =raiztfrac319,(t+2),
tilde g(t)=g(t)|g| =3t-2

Resposta

(a) lang<= f,grang<==-1
(b) lang<= f,hrang<==-tfrac374
(c) |f|=raiztfrac193
(d) |g|=1
(e)
tilde f(t)=raiztfrac319,(t+2),
tilde g(t)=3t-2.

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